Лоранов ред

Лоранов ред се дефинише у односу на одређену тачку c и путању интеграције γ. Путања интеграције мора лежати у прстену (приказаном црвеном бојом) у којем је функција f(z) холоморфна (интеграција)

У математици, Лоранов ред комплексне функције f(z) представља исту ту функцију представљену као степени ред који обухвата и чланове са негативним индексом. Може се користити да би се се изразила комплексна функција тамо гдје се не може примијенити Тејлоров ред. Лоранов ред је добио име по Пјеру Алфонсу Лорану, који га је први објавио 1843. године. Карл Вајерштрас га је можда открио раније, још 1841. године, али га у сваком случају није тада објавио.

Лоранов ред комплексне функције f(z) у околини тачке c има сљедећи облик:

$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

при чему су a_n константе које се добијају рјешавањем криволинијског интеграла који представља уопштење Кошијеве интегралне формуле:

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.\,$

Крива по којој интегралимо, крива γ, позитивно је оријентисана (креће се у смјеру супротном од казаљке на сату), затворена, дио-по-дио глатка и нема пресјека са самом собом, а лежи у прстену A у ком је функција аналитичка (холоморфна). Развој f(z) ће на тај начин бити ваљан свуда на прстену. У слици десно, прстен је приказан црвеном бојом, а примјер криве која се може користити као стаза интеграције означен је са γ. Ако за γ узмемо кружницу $|z-c|=\varrho$, са $r<\varrho <R$, проблем се своди на израчунавање комплексних Фуријеових коефицијената рестрикције $f$ на $\gamma$. Чињеница да ови интеграли не зависе од облика криве $\gamma$ представља директну посљедицу Стоуксове теореме.

Конвергентни Лоранови редови

Функција e^−1/x2 и Лоранове апроксимације исте: различите боје осликавају различите степене развоја.

Лоранови редови са комплексним коефицијентима представљају важан алат у комплексној анализи, нарочито у циљу изучавања понашања функције у близини сингуларитета.

Нека је дата функција ƒ(x) = e^−1/x2, ƒ(0) = 0. Гледана као реална функција, она је бесконачно диференцијабилна у свим тачкама реалне осе; међутим, гледана као комплексна функција, она није диференцијабилна у тачки 0. Ако уведемо смјену x умјесто −1/x², добијамо Лоранов ред који конвергира и једнак је функцији ƒ(x) за све комплексне бројеве x осим сингуларитета у тачки 0. На слици десно може се видјети -{ƒ(x) = e^−1/x2 црном бојом, а апроксимације

$\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}\,{x^{-2n} \over n!}$

за N = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 50. Како N тежи бесконачно, апроксимација ће тежити управо тој функцији и биће јој потпуно једнака у свим тачкама осим у сингуларитету 0.