Мебијусова функција

Не поистовећивати са Мебијусова трансформација.

Класична Мебијусова функција, у ознаци $\mu (n)$, је значајна мултипликативна функција у теорији бројева и комбинаторици. Добила је име по немачком математичару Аугусту Фернанду Мебијусу који је дефинисао 1832. године.

Дефиниција

$\mu (n)$ је дефинисана за све позитивне целе бројеве n којима додељује једну од вредности {-1, 0, 1}, у зависности од факторизације броја n на просте чиниоце. Задата је на следећи начин:

$\mu (n)={\begin{cases}1&{\mbox{kada je }}n=1\\(-1)^{k}&{\mbox{kada }}n{\mbox{ nije deljivo potpunim kvadratom, }}k{\mbox{ je broj prostih činilaca}}\\0&{\mbox{inače }}\end{cases}}$

Другим речима,

• $\mu (n)=1$ ако је n позитиван цео број који није дељив потпуним квадратом, и има паран број различитих простих чинилаца.
• $\mu (n)=-1$ ако је n позитиван цео број недељив потпуним квадратом са непарним бројем различитих простих чинилаца.
• $\mu (n)=0$ ако је n дељиво потпуним квадратом.

Еквивалентан начин да се то искаже је да се дефинишу две функције

ω(n), број различитих простих бројева који су делиоци броја n и
Ω(n), број простих чинилаца броја n, при чему се броје сва појављивања. Јасно је да важи ω(n) ≤ Ω(n).

Онда је

$\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\mbox{ako je }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\mbox{ako je }}\;\omega (n)<\Omega (n).\end{cases}}$

Одавде следи да је μ(1) = 1, пошто број 1 има паран број, односно нула простих чинилаца. Вредност μ(0) није дефинисана.

Вредности Мебијусове функције за првих 20 позитивних целих бројева:

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
μ(n)	1	-1	-1	0	-1	1	-1	0	0	1	-1	0	-1	1	1	0	-1	0	-1	0

На следећој слици је приказано првих 50 вредности Мебијусове функције:

Првих 50 вредности функције

Спољашње везе

• Мебијусова функција на mathworld.wolfram.com (језик: енглески)