Непрекидна Фуријеова трансформација

Непрекидна фуријеова трансформација је линеарна математичка операција пресликавања функције у функцију, која нам омогућава да разделимо непрекидне, непериодичне функције (на пример сигнале) у непрекидан спектар. Ова трансформација се често назива скраћено Фуријеова трансформација.

Дефинисана је за неку функцију f(t) на следећи начин:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt,$

а трансформација у обрнутом смеру је инверзна Фуријеова трансформација (Фуријеова синтеза) и гласи

${\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega .$

Примена ове трансформације је кључна у многим областима технике где се проучава простирање осцилација или зрачења које су функција промене амплитуде неке величине (веома често електричног сигнала) у зависности од времена. Тада Фуријеова трансформација представља амплитуде које су функција фреквенција, значи, свакој фреквенцији ($\omega =2\pi \cdot \nu$) додељује се амплитуда из реалног домена.

Фуријеова трансформација и диференцијалне једначине

Путем Фуријеове трансформације ми прво претварамо линеарне диференцијалне једначине у „обичне“ линеарне једначине, у том простору их решавамо и на крају решења трансформишемо назад у простор одакле смо и кренули.

Посматрамо периодичне функције. Оне су у ствари елементи једног векторског простора. Унутрашњи производ две функције је тада овако дефинисан: $f(t)\cdot g(t)=\int _{0}^{T}f(t){\overline {g(t)}}dt$

Као што су то у уобичајеном тродимензионалном простору $\mathbb {R} ^{3}$ $[1,0,0],[0,1,0]$ и $[0,0,1]$, и у овом простору са функцијама имамо неке базе. Док у $\mathbb {R} ^{3}$ имамо само три димензије и три базна вектора који у потпуности дефинишу простор, у простору са функцијама је то бесконачан број, тј. број димензија (и тиме базних вектора) је бесконачан.

Назовимо тај простор $B$, а његове базе $b_{i}$. Онда сваку функцију можемо да раставимо:

$f(t)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }\lambda _{i}b_{i}$

$\lambda _{i}$ су коефицијенти који дефинишу дату функцију, што значи да трансформацију можемо да обрнемо и вратимо је у првобитни простор (илити облик). Цео процес, трансформацију, треба замислити као капију два паралелна простора. Када прођемо кроз капију, налазимо се у простору где ствари из првобитног простора изгледају другачије (а некад имају и другачије особине), али ипак представљају једне те исте ствари. То управо овде радимо. Нашу функцију шаљемо кроз капију, у другом простору је обрађујемо јер нам је тако згодније, а онда је тако обрађену шаљемо кроз неку другу капију да нам се врати у облику у којем можемо даље да је користимо у „свакодневном животу“.

Вратимо се Фуријеовој трансформацији. Претходно смо је означили као ${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )$ што ће у поласку бити наша прва капија.

Погледајмо шта се дешава са изводом:

${\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

$f'(t)={\frac {\partial f(t)}{\partial t}}={\frac {\partial f(t)\cdot ({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega )}{\partial t}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial (F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t})}{\partial t}}\,d\omega$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ){\frac {\partial (e^{\mathrm {i} \omega t})}{\partial t}}\,d\omega ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

Станимо на овом колосеку и кренимо из једног другог смера:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega ),F_{1}(\omega )=F(\omega )\mathrm {i} \omega$

Онда је инверзна функција:

${\mathcal {F}}^{-1}\{F_{1}(\omega )\}={\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\mathrm {i} \omega \}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega =f'(t)$

На крају закључимо:

${\mathcal {F}}\{{\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\mathrm {i} \omega \}\}=F(\omega )\mathrm {i} \omega$

${\mathcal {F}}\{f'(t)\}=\mathrm {i} \omega {\mathcal {F}}\{f(t)\}$

Хајде да погледамо како још Фуријеова трансформација реагује на збир две функције:

${\mathcal {F}}\{f(t)+g(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}+g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt+\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt\right)$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}+{\mathcal {F}}\{g(t)\}$

У рукама нам је сав алат неопходан да се посветимо диференцијалним једначинама.

Фуријеова трансформација као алат за решавање једначине топлотног провода

Узмимо да имамо неки прстен обима L и да нас интересује распоред температуре током времена. Добијамо проблем:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right),\ \ \ -\infty <x<\infty ,t\geq 0$

$u(x,0)=f(x),\ \ \ -\infty <x<\infty$

$u(x,t)$ је распоред температуре у том прстену, $\alpha$ је нека позитивна константа, а $f(x)$ је функција која дефинише распоред температуре на самом почетку ($t=0$).

$u(x,t)$ трансформишемо помоћу Фуријеове трансформације:

$u(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk,\ \ \ \ {\hat {u}}(k,t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x,t)e^{-\mathrm {i} kx}dx$

Правимо парцијални извод функције $u(x,t)$ мењајући места и изводећи унутар интеграла:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)={\frac {\partial u}{\partial t}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial t}}\left({\hat {u}}(k,t)\right)e^{\mathrm {i} kx}dk$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left({\hat {u}}(k,t)\right)e^{\mathrm {i} kx}dk=$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} k)^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} k)^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }-k^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk$

Трансформишимо и другу једначину (наш полазни услов):

${\mathcal {F}}\{u(x,0)\}={\mathcal {F}}\{f(x)\}\Rightarrow {\hat {u}}(k,0)={\hat {f}}(k)$

Сада наша диференцијална једначина постаје:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {u}}(k,t)=-\alpha k^{2}{\hat {u}}(k,t)$

${\hat {u}}(k,0)={\hat {f}}(k)$

То је сада постала уобичајена диференцијална једначина, коју можемо да решимо на стандардан начин:

${\hat {u}}(k,t)={\hat {f}}(k)e^{-\alpha k^{2}t}$

Одатле можемо да дођемо до нашег решења за $u(x,t)$ путем инверзне Фуријеове трансформације, а ${\hat {f}}(k)$ добијамо тако што трансформишемо $f(x)$:

$u(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)e^{-\alpha k^{2}t+\mathrm {i} kx}dk$

${\hat {f}}(k)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-\mathrm {i} kx}dx$

Да би израз мало појаснили и разговетније написали, уводимо корен топлотног провода:

$K_{t}(x-x')={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}$

$x'$ не би требало да нас збуњује. Није реч о изводу или нечему сличном, већ је $x'$ просто једна друга променљива која такође означава положај. Када убацимо корен топлотног провода у нашу $u(x,t)$:

$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{t}(x-x')f(x')dx'$

У прстену обима L важи тада:

$u(x,t)=\int _{0}^{L}K_{t}(x-x')f(x')dx'$

Конкретан пример

Имамо два дужа штапа. Један има температуру $T_{1}=T$, а други $T_{2}=-T$. За време $t<0$ су раздвојени и задржавају константно своју температуру, а у тренутку $t=0$ их спајамо. Интересује нас како ће се температура распоредити. Нулту тачку постављамо у тачку где се та два штапа спајају.

Из датог изводимо полазну функцију $f(x)$:

$f(x)={\begin{cases}T_{1}=T,\ \ \ x>0\\T_{2}=-T,\ \ x\leq 0\end{cases}}$

Из поставе проблема знамо да мора да важи:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right),\ \ \ -\infty <x<\infty ,t\geq 0$

$u(x,0)=f(x),\ \ \ -\infty <x<\infty$

Наш циљ је да израчунамо $u(x,t)$:

$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{t}(x-x')f(x')dx'=\int _{-\infty }^{0}K_{t}(x-x')(-T)dx'+\int _{0}^{\infty }K_{t}(x-x')(-T)dx'=$

$={\frac {T}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}\left(-\int _{-\infty }^{0}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}dx'+\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}dx'\right)=$

$={\frac {T}{\sqrt {2\pi }}}\left(-\int _{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}^{\infty }e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy+\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\infty }e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy\right)=$

$={\frac {T}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy$

При интегрисању смо се послужили супституцијом $y={\frac {(x-x')}{\sqrt {2\alpha t}}}$ односно $y=-{\frac {(x-x')}{\sqrt {2\alpha t}}}={\frac {(x'-x)}{\sqrt {2\alpha t}}}$.

У овом конкретном примеру је важило $T_{1}=-T_{2}=T$, али када желимо да уопштимо формулу, довољно је за полазну тачку узети аритметичку средину двеју температура и мало претумбати крајњу функцију:

$u(x,t)={\frac {T_{1}+T_{2}}{2}}+{\frac {T_{1}+T_{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy$

Види још

• Дуалност по Понтрјагину