Парцијални извод

У математици, парцијални извод функције са неколико променљивих је њен извод по једној од тих променљивих, док се друге држе константним (за разлику од тоталног извода, у коме је свим променљивама дозвољено да варирају). Парцијални изводи се користе у векторском калкулусу и диференцијалној геометрији.

Ако постоје коначне граничне вредности количника прираштаја функције $f(x,y,\dots )$ у тачки $P(x,y,\dots )$ са одговарајућим прираштајима независно променљивих такве да теже нули, тада се те граничне вредности називају парцијалним изводима функције $f(x,y,\dots )$ у тачки $P(x,y,\dots )$.

Парцијални дериват функције $f(x,y,\dots )$ по променљивој $x$ се различито означава са

$f_{x}^{\prime },\ f_{x},\ \partial _{x}f,\ D_{x}f,\ D_{1}f,\ {\frac {\partial }{\partial x}}f,{\text{ or }}{\frac {\partial f}{\partial x}}.$

Понекад, ако је $z=f(x,y,\dots ),$ парцијални извод $z$ у погледу $x$ се означава са ${\partial z} \over {\partial x}.$ Пошто су парцијални деривати генерално функције истих променљивих као и оригиналне функције, та функционална зависност се понекад експлицитно уврштава у нотацију, као у

$f_{x}(x,y,...),\ {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,...).$

Симбол који се користи за означавање парцијалних деривата је ∂. Једна од првих познатих употреба тог симбола у математици је присутна у раду Маркиза де Кордосета и 1770, где га је он користио за парцијалне изводе. Модерна нотација парцијалних извода потиче од Адријен-Мари Лежандра (1786), мада ју је он касније напустио; Карл Густав Јакоб Јакоби је поново увео симбол 1841. године.

Дефиниција

Као и обични деривати, парцијални дериват је дефинисан као лимит. Нека је U отворени подскуп од $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\to \mathbb {R}$ функција. Парцијални дериват од f у тачки $\mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U$ у односу на i-ту променљиву x_i је дефинисан као

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}$

Чак и ако сви парцијални деривати ∂f/∂x_i(a) постоје у датој тачки a, функција не мора тамо бити континуирана. Међутим, ако сви парцијални деривати постоје у околини a и тамо су континуирани, тада је f потпуно диференцијабилна у том суседству и тотални извод је континуиран. У овом случају се каже да је f функција C¹1. Ово се може користити за генерализацију за векторске функције, $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$, пажљиво користећи компонентни аргумент.

Парцијални дериват ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ се може посматрати као још једна дефинисана функција на U и опет се може парцијално диференцирати. Ако су сви мешовити парцијални изводи другог реда континуирани у тачки (или на скупу), f се у тој тачки (или на том скупу) назива C² функција; у овом случају се парцијални деривати могу заменити Клајраутовом теоремом:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.$

Нотација

Види још: ∂

За следеће примере, нека је $f$ функција у $x,y$ и $z$.

Парцијални деривати првог реда:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.$

Парцијални деривати другог реда:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.$

Мешовити деривати другог реда:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.$

Парцијални и виши деривати вишег реда:

${\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.$

Када се ради о функцијама више променљивих, неке од ових променљивих могу бити повезане једна с другом, те ће можда бити потребно да се експлицитно наведе које се променљиве држе константним како би се избегла нејасноћа. У пољима као што је статистичка механика, парцијални дериват од $f$ у односу на $x$, држећи $y$ и $z$ константним, често се изражава као

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.$

Консеквентно, ради јасноће и једноставности записа, парцијални дериват функције и вредност функције у одређеној тачки су повезани тако што укључују аргументе функције када се користи симбол парцијалног деривата (Лајбницов запис). Дакле, израз попут

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}$

се користи за функцију, док се

${\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}$

може користити за вредност функције у тачки $(x,y,z)=(u,v,w)$. Међутим, ова конвенција се не користи када се жели да се процени парцијални дериват у тачки попут $(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})$. У таквом случају, вредновање функције мора бити изражено на незграпан начин као

${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})$

или

$\left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$

како би се користио Лајбницов запис. Стога, у овим случајевима, може да буде пожељније да се користи Ојлеров диференцијални запис оператора са $D_{i}$ као симбол парцијалног извода у односу на i-ту променљиву. На пример, могло би се написати $D_{1}f(17,u+v,v^{2})$ за горе описани пример, док израз $D_{1}f$ представља функцију парцијалног извода у односу на прву променљиву.

За парцијалне деривате вишег реда, парцијални дериват (функција) од $D_{i}f$ у односу на ј-ту променљиву означена је са $D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f$. Стога је, $D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}$, тако да су променљиве наведене по редоследу узимања деривата, и отуда обрнутим редоследом од тога како се обично бележи композиција оператора. Наравно, Клајраутова теорема имплицира да је $D_{i,j}=D_{j,i}$ докле год су задовољени релативно благи услови регуларности на f.

Градијент

Важан пример функције више променљивих је случај функције скаларне вредности f(x₁, …, x_n) на домену у Еуклидском простору $\mathbb {R} ^{n}$ (нпр. на $\mathbb {R} ^{2}$ или $\mathbb {R} ^{3}$). У овом случају f има парцијални дериват ∂f/∂x_j у односу на сваку променљиву x_j. У тачки a, ови парцијални деривати дефинишу вектор

$\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).$

Овај вектор се назива градијент од f у a. Ако је f диференцијабилно у свакој тачки у неком домену, онда је градијент векторски-вредносна функција ∇f која води тачку a у вектор ∇f(a). Сходно томе, градијент производи векторско поље.

Уобичајена злоупотреба записа је дефинисање дел оператора (∇) на следећи начин у тродимензионалном Еуклидском простору $\mathbb {R} ^{3}$ са јединичним векторима ${\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}$:

$\nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}$

Или, уопштеније, за n-димензионални Еуклидски простор $\mathbb {R} ^{n}$ са координатама $x_{1},\ldots ,x_{n}$ и јединичним векторима ${\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$:

$\nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}$

Дирекциони дериват

Контурни графикон од $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, који приказује градијентни вектор у црној боји, и јединични вектор $\mathbf {u}$ скалиран усмереном дериватом у правцу $\mathbf {u}$ у наранџастој боји. Вектор градијента је дужи, јер градијент орјентисан у смеру највеће стопе повећања функције.

Дирекциони дериват скаларне функције

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

дуж вектора

$\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$

је функција $\nabla _{\mathbf {v} }{f}$ дефинисана помоћу лимита

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.$

Ова дефиниција важи у широком спектру контекста, на пример где је норма вектора (а самим тим и јединични вектор) недефинисана.

Пример

Претпоставимо да је f функција више од једне променљиве. На пример,

$z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$.

Графикон z = x² + xy + y². За парцијални извод у (1, 1) то даје константу y, што кореспондира тангенти је паралелна са xz-равни.

Део горњег графикона који приказује функцију у xz-равнини на y = 1. Треба имати на уму да су две осе овде приказане са различитим скалама. Нагиб тангентне линије је 3.

Графикон ове функције дефинише површину у Еуклидовом простору. За сваку тачку на овој површини постоји бесконачан број тангентних линија. Парцијална диференцијација је чин одабира једне од ових линија и проналажења њеног нагиба. Обично су најзанимљивије линије оне које су паралелне са $xz$-равни, и оне које су паралелне са из $yz$-равни (које резултирају из држања $y$ или $x$ константним).

Да би се пронашао нагиб линије која је тангентна на функцију у $P(1,1)$ и паралелна са $xz$-равни, $y$ се третира као константа. Графикон и ова раван су приказани десно. У наставку се види како функција изгледа у равни $y=1$. Проналажењем деривата једначине уз претпоставку да је $y$ константа, открива се да је нагиб $f$ у тачки $(x,y)$:

${\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y$.

Дакле, у $(1,1)$, заменом, нагиб је 3. Због тога,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=3$

у тачки $(1,1)$. То јест, парцијални дериват $z$ у односу на $x$ у $(1,1)$ је 3, као што је приказано на графикону.

Функција f се може поново тумачити као породица функција једне променљиве индексиране другим променљивама:

$f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

Другим речима, свака вредност y дефинише функцију, означену са f_y , која је функција једне променљиве x. То јест,

$f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.$

У овом одељку ознака индекса f_y означава функцију зависну од фиксне вредности y, а не делимичан дериват.

Када се изабере вредност y, рецимо a, онда f(x,y) одређује функцију f_a која прати криву x² + ax + a² на $xz$-равни:

$f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}$.

У овом изразу, a је константа, а не променљива, те је f_a функција само једне реалне променљиве, која је x. Сходно томе, примењује се дефиниција деривата за функцију једне променљиве:

$f_{a}'(x)=2x+a$.

Горе наведени поступак се може извести за било који избор a. Склапање деривата заједно у функцију даје функцију која описује варијацију f у смеру x:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.$

Ово је парцијални извод f у односу на x. Овде је ∂ заокружено d који се назива симбол парцијалног извода; да би се разликовао од слова d, ∂ се понекад изговара као „парцијал“.

Парцијални изводи вишег реда

Парцијални деривати другог и вишег реда су дефинисани аналогно дериватима вишег реда униваријантних функција. За функцију $f(x,y,...)$ „сопствени” други парцијални дериват у односу на то x је једноставно парцијални дериват парцијалног деривата (обе у односу на x):

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.$

Укрштена парцијална деривација у односу на x и y добија се узимањем парцијалног извода од f у односу на x, а затим се узима парцијални извод резултата у односу на y, да би се добило

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.$

Шварцова теорема наводи да ако су други деривати континуирани, на израз за унакрсну парцијалну деривацију нема утицаја по којој варијабли се парцијална деривација прво врши. Другим речима,

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}$

или еквивалентно $f_{yx}=f_{xy}.$

Сопствени и унакрсни парцијални деривати појављују се у Хесовој матрици која се користи у условима другог реда у проблемима оптимизације.

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Partial derivative”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Partial Derivatives at MathWorld