Ромбергова интеграција

Ромбергова интеграција (понекад се наводи такође као Ромбергова метода) је поступак из нумеричке анализе. Користи се када желимо нумерички да израчунамо неки интеграл, а добила је име по Вернеру Ромбергу.

Идеја

Основа Ромбергове интеграције је комбинација две лоше апроксимације којом ћемо доћи до једне боље. У суштини, она представља само један вид Ричардсонове екстраполације примењене на интеграцију и трапезоидно правило.

Присетимо се грешке трапезоидног правила са $n\,$ датих тачака:

$T_{r}(h)={\frac {h}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+\dots +2f(x_{n-1})+f(x_{n})\right)$

$h={\frac {b-a}{n}}\,$

$I_{precizan}=\int _{a}^{b}f(x)dx=T_{r}(h)+{(b-a) \over 12}h^{2}f''(\xi )+\dots$

$\xi \in [a,b]\,$

Напишимо то све мало другачије:

$T(h)=I_{precizan}+c_{2}\cdot h^{2}+c_{4}\cdot h^{4}+\dots$

$c_{2}={(b-a) \over 12}\cdot f''(\xi ),c_{4}=\ldots$

А шта се дешава када преполовимо размак између тачака?

$T(h/2)=I_{precizan}+c_{2}\cdot (h/2)^{2}+c_{4}\cdot (h/4)^{2}+\dots =I_{precizan}+{\frac {1}{4}}c_{2}\cdot h^{2}+{\frac {1}{16}}c_{4}\cdot h^{4}+\dots$

Очигледно је да се коефицијенти за квадратни део грешке ($c_{2}h^{2}\,$) донекле преклапа; зато га можемо простом комбинацијом ове две апроксимације елиминисати:

$T_{1}(h/2)={\frac {4\cdot T(h/2)-T(h)}{3}}=I_{precizan}-{\frac {1}{4}}c_{4}+\dots$

Сада грешка зависи само од $h^{4}\,$! Постпупак можемо наставити и врло брзо ћемо доћи до веома прецизних резултата. Даљим рачуном елиминишемо остале степене из грешке:

$T_{n}({\frac {h}{2^{k}}})={\frac {4^{n}\cdot T_{n-1}({\frac {h}{2^{k}}})-T_{n-1}({\frac {h}{2^{k-1}}})}{2^{k}-1}}$

На шеми се види мало јасније:

${\begin{matrix}T_{0}(h)&&&&&\\&\searrow &&&&\\T_{0}(h/2)&\rightarrow &T_{1}(h/2)&&&\\&\searrow &&\searrow &&\\T_{0}(h/4)&\rightarrow &T_{1}(h/4)&\rightarrow &T_{2}(h/4)&\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\\end{matrix}}$

Као резултат се узима увек последњи елемент на дијагонали.

Грешка

Грешка Ромбергове интеграције, написана нотацијом са великим О: ${\mathcal {O}}(h^{2n+1})$.

За њену приближну вредност (за критеријум обуставе алгоритма) може се узети разлика дијагонале: $T_{n}(h/2^{k})-T_{n-1}(h/2^{k-1})\,$

Треба међутим имати у виду да у одређеним случајевима грешка не мора да се смањује - добар пример за то су таласне функције (косинус, синус итд.). На конкретном примеру:

$\int _{0}^{2\pi }f(x)*cos(2^{n}x)dx$

број тачака мора да будем барем $n+1$ иначе ће нам интеграл увек бити једнак нули.

Ромбергова интеграција има и ту предност што грешку можемо у сваком следећем кораку да израчунамо и тако сваки пут изнова одлучимо да ли хоћемо да идемо даље или смо задовољни досадашњим резултатом.

Пример

Узмимо да желимо да израчунамо:

$\int _{10}^{20}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\ \mathrm {e} ^{\left({\frac {x}{3}}\right)}dx$

Трапезоидно правило са две тачке нам даје:

$T_{0}(h=10)=10\cdot ({\frac {1}{2}}f(10)+{\frac {1}{2}}f(20))=2295.70$

Са три:

$T_{0}(h/2=5)=5\cdot ({\frac {1}{2}}f(10)+f(15)+{\frac {1}{2}}f(20))=1566.51$

И са пет:

$T_{0}(h/4=2.5)=2.5\cdot ({\frac {1}{2}}f(10)+f(12.5)+f(15)+f(17.5)+{\frac {1}{2}}f(20))=1355.90$

Када упоредимо чак и задњи резултат, грешка је још увек велика:

$\int _{10}^{20}{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\ \mathrm {e} ^{\left({\frac {x}{3}}\right)}dx-T_{0}(h/4)=-73.38$

У неким ситуацијама би таква грешка могла да буде кобна! Применимо са овим резултатима Ромбергову методу:

$T_{1}(h/2)={\frac {4\cdot T_{0}(h/2)-T_{0}(h)}{3}}={\frac {4\cdot 1566.51-2295.70}{3}}=1323.45$

Грешка је $\int _{10}^{20}f(x)dx-1323.45=-40.93$, још увек недовољно прецизно за наше потребе. Идемо још један корак даље:

$T_{1}(h/4)={\frac {4\cdot T_{0}(h/4)-T_{0}(h/2)}{3}}={\frac {4\cdot 1355.90-1566.51}{3}}=1285.70$

$T_{2}(h/4)={\frac {4^{2}\cdot T_{1}(h/4)-T_{1}(h/2)}{4^{2}-1}}=1283.18$

Грешка на крају: -0.65 ! Са само пет тачака смо добили изузетно прецизан резултат. Када бисмо желели да постигнемо исти резултат простим трапезоидним правилом, требало би нам око 50 тачака.