Сигнум функција

Сигнум функција

У математици, а посебно у информатици, сигнум функција је логичка функција која враћа знак реалног броја. Сигнум функција се често означава са sgn и може се дефинисати као:

$\operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0\end{matrix}}\right.$

Сваки реалан број се може представити као производ његове апсолутне вредности и његове сигнум функције:

$x=(\operatorname {sgn} x)|x|.\qquad \qquad (1)$

Из једнакости (1) следи да, када год x није 0, имамо

$\operatorname {sgn} x={x \over |x|}\qquad \qquad (2)$

Сигнум функција је извод функције апсолутне вредности (осим у нули):

${d|x| \over dx}={x \over |x|}.$

Сигнум функција је диференцијабилна са изводом 0 свуда осим у 0. Није диференцијабилна у 0 у класичном смислу, али под генерализацијом диференцијала (погледати расподела), можемо рећи да је диференцијал сигнум функције два пута Диракове делта функције,

${d\ \operatorname {sgn} x \over dx}=2\delta (x).$

Сигнум функција је везана са Хевисајдовом одскочном функцијом h_1/2(x):

$\operatorname {sgn} x=2h_{1/2}(x)-1,\,$

где индекс 1/2 одскочне функције означава да је h_1/2(0) = 1/2.

Сигнум функција се може уопштити комплексним бројевима:

$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$

за свако z ∈ ℂ \ {0}.