Теорема о затвореном графику

У математици, теорема о затвореном графику је темељни резултат класичне функционалне анализе, који карактерише непрекидна линеарна пресликавања између Банахових простора својствима њихових графика.

Исказ

График ма ког пресликавања A : X → Y се дефинише као { (x,Ax) ∈ X×Y | x ∈ X }.

Теорема о затвореном графику гласи:

Нека су X и Y Банахови простори и A : X → Y свугде дефинисано линеарно пресликавање (тј. домен D(A) је цео простор X). Тада је A непрекидно ако и само ако је затворено, односно, ако је његов график затворен у X×Y (са топологијом производа).

Услов да је A свугде дефинисано је неопходан јер постоје затворена неограничена линеарна пресликавања. Уобичајени доказ теореме о затвореном графику користи теорему о отвореном пресликавању.

Доказ

Нека су p₁ : X×Y → X и p₂ : X×Y → Y пројекције на X и Y; оне су непрекидне по дефиницији топологије производа. Претпоставимо прво да је A непрекидно пресликавање и (x_n,Ax_n) низ тачака на графику G(A) које конвергирају некој тачки (x,y) ∈ X×Y. Према непрекидности пројекција је

x_n = p₁(x_n,Ax_n) → p₁(x,y) = x     и     Ax_n = p₂(x_n,Ax_n) → p₂(x,y) = y.

Према непрекидности пресликавања A је са друге стране Ax_n → Ax. Стога је y = Ax, те је (x,y) ∈ G(A). То доказује да је G(A) затворен скуп.

Главни део тврђења је обрнути став, да затвореност графика G(A) повлачи да је пресликавање A непрекидно. G(A), као затворен векторски потпростор Банаховог простора X×Y и сам Банахов. p₁|_G(A) : G(A) → X је бијективно непрекидно линеарно пресликавање између Банахових простора, те је према теореми о отвореном пресликавању и отворено. Стога је непрекидно њему инверзно пресликавање ${\tilde {A}}:x\mapsto (x,Ax)$, а самим тим и $A=p_{2}\circ {\tilde {A}}$.

Услов да је график пресликавања A затворен подскуп производа X×Y еквивалентан је исказу да

ако је {x_n} низ у X такав да x_n → x и Ax_n → y, тада је y=Ax.

Према теореми о затвореном графику, за линеарно пресликавање A између Банахових простора X и Y, ово је еквивалентно са условом непрекидности:

ако је {x_n} низ у X такав да x_n → x, тада и Ax_n → Ax.

Општији облик

У контексту тополошких векторских простора, теорема о затвореном графику има следећи општији облик:

Линеарно пресликавање из бачвастог простора X у Фрешеов простор Y је непрекидно ако и само ако је његов график затворен у X×Y са топологијом производа.