Косинус и синус око јединичног круга . У математици тригонометријски идентитети су еквивалентни са употребом тригонометријских функција и оне важе за сваку вредност променљивих. Геометријски, они су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они су посебни тригонометријски идентитети, они укључују оба угла дужине страна троугла. Само неки су поменути у овом чланку.
Ови идентитеи су корисни када год имамо израз који укључује тригонометријске функције, а треба да буде поједностављен. Битан захтев је интеграција не-тригонометријских функција : уобичајена техника укључује првобитно примену правила супституције на тригонометријским функцијама, и онда поједностављивање резултата интеграла са тригонометријским идентитемиа.
Овај чланак користи грчка слова као што су alpha beta , gamma и theta да представи углове. Неколико различитих јединица су широко распрострањене, уклључујући степене, радијане и градијане :
1 пун круг = 360 степени = 2
π
{\displaystyle \pi }
Следећа табела показује верзију неких од уобичајених углова:
Degrees
30°
60°
120°
150°
210°
240°
300°
330°
Radians
π
6
{\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}
π
3
{\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}
2
π
3
{\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}
5
π
6
{\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}
7
π
6
{\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}
4
π
3
{\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}
5
π
3
{\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}
11
π
6
{\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}
Grads
33⅓ grad
66⅔ grad
133⅓ grad
166⅔ grad
233⅓ grad
266⅔ grad
333⅓ grad
366⅔ grad
Degrees
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
Radians
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}
3
π
4
{\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}
π
{\displaystyle \pi \!}
5
π
4
{\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}
3
π
2
{\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}
7
π
4
{\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}
2
π
{\displaystyle 2\pi \!}
Grads
50 grad
100 grad
150 grad
200 grad
250 grad
300 grad
350 grad
400 grad
Осим ако је наведено супротно сви углови у овом чланку ће бити у радијанима, осим углова који се завршавају симболом степена (°), који су у степенима.[ 1]
Примарне тригонометријске функције су синус и косинус угла. Они су понкад скраћене sin и cos.
Синус угла је дефинисан у контексту правог троугла као однос дужина странице која је наспрам угла, подељене дужином најдуже странице троугла, хипотенузе.
Косинус угла је такође дефинисан у контексту правог троугла, као однос дужина страница на којој лежи угао, подељене дужином најдуже странице троугла, хипотенузом.
Тангенс угла је однос синуса и косинуса:
tan
θ
=
sin
θ
cos
θ
.
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}.}
Коначно, реципроцна функција sec, csc i ctg су реципрочне синусу косинусу и тангенсу:
sec
θ
=
1
cos
θ
,
csc
θ
=
1
sin
θ
,
cot
θ
=
1
tan
θ
=
cos
θ
sin
θ
.
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.}
Инверзне тригонометријске функције су делимично инверзне функције за тригонометријске функције. На пример, инверзна функција за синус, позната као 'инверзни синус' или arcsin задивољава
sin
(
arcsin
x
)
=
x
for
|
x
|
≤
1
{\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1}
и
arcsin
(
sin
x
)
=
x
for
|
x
|
≤
π
/
2.
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq \pi /2.}
Овај чланак користи нотације испод за инверзне тригонометријске функције :
Function
sin
cos
tan
sec
csc
cot
Inverse
arcsin
arccos
arctan
arcsec
arccsc
arccot
Основна веза између синуса и косинуса су Питагорини тригонометријски идентитет :
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!}
где cos2 θ значи (cos(θ ))2 и sin2 θ значи (sin(θ ))2 .
Ово се може посматрати као верзија питагорине теореме, и прати једначину x 2 + y 2 = 1
sin
θ
=
±
1
−
cos
2
θ
and
cos
θ
=
±
1
−
sin
2
θ
.
{\displaystyle \sin \theta =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\quad {\text{and}}\quad \cos \theta =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\,}
Дељењем Питагориног идентитета са cos2 θ или sin2 θ доприноси стварању два идентитета :
1
+
tan
2
θ
=
sec
2
θ
and
1
+
cot
2
θ
=
csc
2
θ
.
{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad 1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta .\!}
Коришћењем ових идентитета заједно са размерним идентитетима, могуће је изразити било коју тригонометријску функцију у изразима било којих других (све до плус минус знака) :
Each trigonometric function in terms of the other five.[ 2]
in terms of
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
sin
θ
=
{\displaystyle \sin \theta =\!}
sin
θ
{\displaystyle \sin \theta \ }
±
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\!}
±
tan
θ
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
1
csc
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}\!}
±
sec
2
θ
−
1
sec
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\!}
±
1
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
cos
θ
=
{\displaystyle \cos \theta =\!}
±
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\!}
cos
θ
{\displaystyle \cos \theta \!}
±
1
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\!}
±
csc
2
θ
−
1
csc
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\!}
1
sec
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\!}
±
cot
θ
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\!}
tan
θ
=
{\displaystyle \tan \theta =\!}
±
sin
θ
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}
±
1
−
cos
2
θ
cos
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\!}
tan
θ
{\displaystyle \tan \theta \!}
±
1
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
±
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\!}
1
cot
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}\!}
csc
θ
=
{\displaystyle \csc \theta =\!}
1
sin
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\!}
±
1
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
±
1
+
tan
2
θ
tan
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\!}
csc
θ
{\displaystyle \csc \theta \!}
±
sec
θ
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
±
1
+
cot
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\!}
sec
θ
=
{\displaystyle \sec \theta =\!}
±
1
1
−
sin
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\!}
1
cos
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\!}
±
1
+
tan
2
θ
{\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\!}
±
csc
θ
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\!}
sec
θ
{\displaystyle \sec \theta \!}
±
1
+
cot
2
θ
cot
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\!}
cot
θ
=
{\displaystyle \cot \theta =\!}
±
1
−
sin
2
θ
sin
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\!}
±
cos
θ
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\!}
1
tan
θ
{\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}\!}
±
csc
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\!}
±
1
sec
2
θ
−
1
{\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\!}
cot
θ
{\displaystyle \cot \theta \!}
Све тригонометријске функције угла θ се могу конструисати геометријски у оквиру пуног круга са центром у O . Многи ови оквири нису више у употреби. Синус версус, косинус версус и ексекант се користи у навигацији. На пример синус версус формула је коришћена за израчунавање удаљености између два дела свере. Данас се ретко користи.
Name(s)
Abbreviation(s)
Value[ 3]
versed sine, versine
versin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}
vers
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )}
ver
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}
1
−
cos
(
θ
)
{\displaystyle 1-\cos(\theta )}
versed cosine, vercosine
vercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}
1
+
cos
(
θ
)
{\displaystyle 1+\cos(\theta )}
coversed sine, coversine
coversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}
cvs
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}
1
−
sin
(
θ
)
{\displaystyle 1-\sin(\theta )}
coversed cosine, covercosine
covercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}
1
+
sin
(
θ
)
{\displaystyle 1+\sin(\theta )}
half versed sine, haversine
haversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}
1
−
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}
half versed cosine, havercosine
havercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}
1
+
cos
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}
half coversed sine, hacoversine
hacoversin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}
1
−
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}}
half coversed cosine, hacovercosine
hacovercosin
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}
1
+
sin
(
θ
)
2
{\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}}
exterior secant, exsecant
exsec
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )}
sec
(
θ
)
−
1
{\displaystyle \sec(\theta )-1}
exterior cosecant, excosecant
excsc
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}
csc
(
θ
)
−
1
{\displaystyle \csc(\theta )-1}
chord
crd
(
θ
)
{\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}
2
sin
θ
2
{\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}
Испитивањем пуног круга, пратећа својства тригонометријских функција могу бити утврђени.
Када су тригонометријске функције рефлектоване на одређен угао, резултат је често једна од тригонометријских функција. То нас води до следећих идентитета :
Reflected in
θ
=
0
{\displaystyle \theta =0}
[ 4]
Reflected in
θ
=
π
/
2
{\displaystyle \theta =\pi /2}
[ 5]
Reflected in
θ
=
π
{\displaystyle \theta =\pi }
sin
(
−
θ
)
=
−
sin
θ
cos
(
−
θ
)
=
+
cos
θ
tan
(
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
−
θ
)
=
−
csc
θ
sec
(
−
θ
)
=
+
sec
θ
cot
(
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
sin
(
π
2
−
θ
)
=
+
cos
θ
cos
(
π
2
−
θ
)
=
+
sin
θ
tan
(
π
2
−
θ
)
=
+
cot
θ
csc
(
π
2
−
θ
)
=
+
sec
θ
sec
(
π
2
−
θ
)
=
+
csc
θ
cot
(
π
2
−
θ
)
=
+
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \\\end{aligned}}}
sin
(
π
−
θ
)
=
+
sin
θ
cos
(
π
−
θ
)
=
−
cos
θ
tan
(
π
−
θ
)
=
−
tan
θ
csc
(
π
−
θ
)
=
+
csc
θ
sec
(
π
−
θ
)
=
−
sec
θ
cot
(
π
−
θ
)
=
−
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}}
Под сменом функције круга неким одређеним углом често је могуће уочити различите тригонометријске функције које показују те резултате у једноставнијем облику. Неки примери овога су приказани сменом функција круга са π/2, π и 2π радијана. Због стила функција је π или 2π, има случајева када је нова функција у потпуности иста као стара без смене.
Shift by π/2
Shift by π [ 6]
Shift by 2π [ 7]
sin
(
θ
+
π
2
)
=
+
cos
θ
cos
(
θ
+
π
2
)
=
−
sin
θ
tan
(
θ
+
π
2
)
=
−
cot
θ
csc
(
θ
+
π
2
)
=
+
sec
θ
sec
(
θ
+
π
2
)
=
−
csc
θ
cot
(
θ
+
π
2
)
=
−
tan
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}}
sin
(
θ
+
π
)
=
−
sin
θ
cos
(
θ
+
π
)
=
−
cos
θ
tan
(
θ
+
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
π
)
=
−
csc
θ
sec
(
θ
+
π
)
=
−
sec
θ
cot
(
θ
+
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}}
sin
(
θ
+
2
π
)
=
+
sin
θ
cos
(
θ
+
2
π
)
=
+
cos
θ
tan
(
θ
+
2
π
)
=
+
tan
θ
csc
(
θ
+
2
π
)
=
+
csc
θ
sec
(
θ
+
2
π
)
=
+
sec
θ
cot
(
θ
+
2
π
)
=
+
cot
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}}
Илустрација адиционе формуле за синус и косинус. Илустрација адиционе формуле за тангенс. Познате су као адиционе и одузимајуће теореме или формуле.
Оне потичу из десетог века и утврдио их је персијски математицар Abū al-Wafā' Būzjānī .
Један метод доказивања ових идентитета се поклапа са Еулеровом формулом.
За диаграм адиције угла за синус и косинус, тамна линија са 1 своје дужине је дужине један. Хипотенуза десног угла троугла са углом β са којим даје синус β и косинус β. Косинус β линија је хипотенуза десног угла троугла са углом α тако да има са стране синус α и косинус α и обоје поможено са косинус β. Ово је исто за синус β линију.
Уопстено дијаграм може бити коришћен да покаже синус и косинус збира идентитета
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
Јер супротне стране правоугаоника су једнаке.
Sine
sin
(
α
±
β
)
=
sin
α
cos
β
±
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!}
[ 8] [ 9]
Cosine
cos
(
α
±
β
)
=
cos
α
cos
β
∓
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,}
[ 9] [ 10]
Tangent
tan
(
α
±
β
)
=
tan
α
±
tan
β
1
∓
tan
α
tan
β
{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}
[ 9] [ 11]
Arcsine
arcsin
α
±
arcsin
β
=
arcsin
(
α
1
−
β
2
±
β
1
−
α
2
)
{\displaystyle \arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin \left(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}\right)}
[ 12]
Arccosine
arccos
α
±
arccos
β
=
arccos
(
α
β
∓
(
1
−
α
2
)
(
1
−
β
2
)
)
{\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos \left(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}}\right)}
[ 13]
Arctangent
arctan
α
±
arctan
β
=
arctan
(
α
±
β
1
∓
α
β
)
{\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)}
[ 14]
Збир и разлика формула синуса и косинуса може бити написана у матрикс форми као :
(
cos
α
−
sin
α
sin
α
cos
α
)
(
cos
β
−
sin
β
sin
β
cos
β
)
=
(
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
−
cos
α
sin
β
−
sin
α
cos
β
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
−
sin
α
sin
β
+
cos
α
cos
β
)
=
(
cos
(
α
+
β
)
−
sin
(
α
+
β
)
sin
(
α
+
β
)
cos
(
α
+
β
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}}
sin
(
∑
i
=
1
∞
θ
i
)
=
∑
odd
k
≥
1
(
−
1
)
(
k
−
1
)
/
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
(
∏
i
∈
A
sin
θ
i
∏
i
∉
A
cos
θ
i
)
{\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
cos
(
∑
i
=
1
∞
θ
i
)
=
∑
even
k
≥
0
(
−
1
)
k
/
2
∑
A
⊆
{
1
,
2
,
3
,
…
}
|
A
|
=
k
(
∏
i
∈
A
sin
θ
i
∏
i
∉
A
cos
θ
i
)
{\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)}
У ова два идентитета асиметричност се појављује али није виђена у случају збира коначности многих услова : У сваком продукту, има неколико коначних синус фактора и двосмислености многих косинус фактора.
Само ако бесконацност многих ових услова θi
ако e k k = 0, 1, 2, 3, ...) буде k tи степен елементарног симетричног полинома у варијаблама
x
i
=
tan
θ
i
{\displaystyle x_{i}=\tan \theta _{i}\,}
for i = 0, 1, 2, 3, ..., i.e.,
e
0
=
1
e
1
=
∑
i
x
i
=
∑
i
tan
θ
i
e
2
=
∑
i
<
j
x
i
x
j
=
∑
i
<
j
tan
θ
i
tan
θ
j
e
3
=
∑
i
<
j
<
k
x
i
x
j
x
k
=
∑
i
<
j
<
k
tan
θ
i
tan
θ
j
tan
θ
k
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}
Онда
tan
(
∑
i
θ
i
)
=
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
.
{\displaystyle \tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}.\!}
Број услова са десне стране зависи од броја услова са леве.
На пример:
tan
(
θ
1
+
θ
2
)
=
e
1
e
0
−
e
2
=
x
1
+
x
2
1
−
x
1
x
2
=
tan
θ
1
+
tan
θ
2
1
−
tan
θ
1
tan
θ
2
,
tan
(
θ
1
+
θ
2
+
θ
3
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
)
−
(
x
1
x
2
x
3
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)
,
tan
(
θ
1
+
θ
2
+
θ
3
+
θ
4
)
=
e
1
−
e
3
e
0
−
e
2
+
e
4
=
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
)
−
(
x
1
x
2
x
3
+
x
1
x
2
x
4
+
x
1
x
3
x
4
+
x
2
x
3
x
4
)
1
−
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
1
x
4
+
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
x
3
x
4
)
+
(
x
1
x
2
x
3
x
4
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}
И тако даље.
sec
(
∑
i
θ
i
)
=
∏
i
sec
θ
i
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
csc
(
∑
i
θ
i
)
=
∏
i
sec
θ
i
e
1
−
e
3
+
e
5
−
⋯
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}
где e k k ти степен елементарног симетричног полинома у n варијабли x i θ i i = 1, ..., n , и број услова у имениоцу и број фактора у резултату у броиоцу зависи од броја услова у збиру са леве стране. Случај коначности многих услова може бити проверена математичком индукцијом. Конвергенција серија у имениоцу може бити показана писањем секанс идентитета у форми
e
0
−
e
2
+
e
4
−
⋯
=
∏
i
sec
θ
i
sec
(
∑
i
θ
i
)
{\displaystyle e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots ={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)}}}
и онда посматра да је лева страна конвергентна уколико је десна страна конвергентна, и слична косенканс идентитету.
На пример,
sec
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
1
−
tan
α
tan
β
−
tan
α
tan
γ
−
tan
β
tan
γ
csc
(
α
+
β
+
γ
)
=
sec
α
sec
β
sec
γ
tan
α
+
tan
β
+
tan
γ
−
tan
α
tan
β
tan
γ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}
Function
Inverse function[ 15]
sin
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
2
i
{\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}
arcsin
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
cos
θ
=
e
i
θ
+
e
−
i
θ
2
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}
arccos
x
=
i
ln
(
x
−
i
1
−
x
2
)
{\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}
tan
θ
=
e
i
θ
−
e
−
i
θ
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}
arctan
x
=
i
2
ln
(
i
+
x
i
−
x
)
{\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}
csc
θ
=
2
i
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arccsc
x
=
−
i
ln
(
i
x
+
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}
sec
θ
=
2
e
i
θ
+
e
−
i
θ
{\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}
arcsec
x
=
−
i
ln
(
1
x
+
1
−
i
x
2
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,}
cot
θ
=
i
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
e
i
θ
−
e
−
i
θ
{\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}
arccot
x
=
i
2
ln
(
x
−
i
x
+
i
)
{\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}
cis
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,}
arccis
x
=
ln
x
i
=
−
i
ln
x
=
arg
x
{\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}=-i\ln x=\operatorname {arg} \,x\,}
^ Schaumberger, N. "A Classroom Theorem on Trigonometric Irrationalities." Two-Year College Math. J. 5, 73-76, 1974. also see Weisstein, Eric W. "Niven's Theorem." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html
^ Abramowitz & Stegun. pp. 73, 4.3.45
^ Abramowitz & Stegun. pp. 78, 4.3.147
^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.13–15
^ „The Elementary Identities[[Категорија:Ботовски наслови]]” . Архивирано из оригинала 30. 07. 2017. г. Приступљено 02. 04. 2014 . ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.9
^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.7–8
^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.16
^ а б в Weisstein, Eric W. „Trigonometric Addition Formulas” . MathWorld ^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.17
^ Abramowitz & Stegun. pp. 72, 4.3.18
^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.42
^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.43
^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.36
^ Abramowitz & Stegun. pp. 80, 4.4.26–31
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbbc83690fbaa9724724144f29919d3ad4f9d31c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe5c7c43e0176206f134067e005328cb0a31cce)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c9196b8ab5e0aef6cf7d7fec7d7546f2a6e7d2f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d12744003bcf5becf301096c3d12ca1d1e1055)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e082e69aab7a9c782f590f3a93262ba3101899b7)
