Фробенијусов метод представља један од метода решавања диференцијалних једначина другога реда облика:
![{\displaystyle z^{2}u''+p(z)zu'+q(z)u=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0835b932fa4e4c68f8df6e78c18d5593c02099)
где су:
и
у близини регуларнога сингуларитета z=0. Поделимо ли са z2 добијамо диференцијалну једначину:
![{\displaystyle u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27ea866ba997d4285d0982d6b1ca3d9f2cfb1d11)
Метода је добила име по немачком математичару Фердинанду Фробенијусу.
Према Фробенијусовој методи тражимо решење у облику реда:
![{\displaystyle u(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r},\qquad (A_{0}\neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f46753d30e83b2272dd6a7be2aae79138d8cd05)
Диференцирањем добијамо:
![{\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e10ab169a25baf1c39bb544f618ee6500f067f)
![{\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b00a1939f6abf1607bb7ec90122e9635d55eeab7)
После тога горе добиујене редове супституирамо у диференцијалну једначину и добијамо:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\&=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59021a42b9f1dec0512b28467b1abfc140730760)
Иницијални полином је следећи израз:
![{\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/791b411c8d9868b608dbd2bb984b086919950cf3)
Према општој дефиницији иницијални полиноми су коефицијенти најнижега степена по z.
Општи израз за коефицијенте од zk + r је:
![{\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7efec331f2e6e77f78455546fc998cbf1e1e21c)
Ти коефицијенти треба да буду једнаки нули, јер они треба да представљају решења диференцијалне једначине, па следи:
![{\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a218dde8e50f2d768a034f659ef894b89dc21a40)
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=-I(k+r)A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d7682c2b8141a6304aed64358183ee34817b09)
![{\displaystyle {1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}\left[(j+r)p(k-j)+q(k-j)\right]A_{j}=A_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ff3cd35b251557d0b766f66a2f326b03825140)
Горње решење са Ak је:
![{\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af0279517f1fdd5143a56a950c9bd09c8d1d09d)
и задовољава:
![{\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13bc17d71d5a75f4c13ed55d5eed3ef8dd30608b)
Одаберемо ли један од корена иницијалнога полинома, тада добијамо решење диференцијалне једначине.
Покушамо ли да решимо следећи диференцијалну једначину:
![{\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ea81ecfbf7c93086254fae1851fdb8c283fa6f)
Поделимо ли је са z2 добијамо:
![{\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3055ca25ecdacccced7e59ac8ca0ec31f6208b94)
Претпостављамо решења у облику реда:
![{\displaystyle f=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26cf5f4cc8761b8b021686f4468a24f2e2caad0)
![{\displaystyle f'=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0230306c0259afb3b9e6527ef1346ed0324f2151)
![{\displaystyle f''=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c619d4ecf4a9770ad3d02346eea1935ea5cfab)
и та решења супституирамо у горњу једначину:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{1 \over z^{2}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{1 \over z}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1f7038b2e0809aa752357863aede597d397b1e)
Померамо индексе последње суме, тако да се добија:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c93b51c1963dd28815e65fc54629984bc169bbc)
Стартни индекс за k=0 се посебно пише, па се добија:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&=((r)(r-1)A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-((r)A_{0}z^{r-2})-\sum _{k=1}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}\\&{}+(A_{0}z^{r-2})+\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r(r-1)-r+1)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left(((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1)A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6a5ede30f27905452c2a4f1a5e6468bb404c8ab)
Једно решење добијамо решавањем иницијалнога полинома r(r − 1) − r + 1 = r2 − 2r + 1 = 0, односно добијамо да је 1 двоструки корен. Користећи тај корен коефицијенти од zk + r − 2 треба да буду нула, шта даје рекурзију:
![{\displaystyle ((k+1)(k)-(k+1)+1)A_{k}-A_{k-1}=(k^{2})A_{k}-A_{k-1}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d376607ab6f86e907cf5ac17b2719f29f33988)
![{\displaystyle A_{k}={A_{k-1} \over k^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db133c628bb06cf19eeed35dce496be4c50a5c28)
Пошто је омер
рационална функција онда се ред може написати као општи хипергеометријски ред.