Мера (математика)

У математици, појам мере генерализује појмове као што су дужина, површина и запремина (мада немају све његове примене везе са физичким величинама). Неформално, ако је дат неки базни скуп, мера је свака конзистентна додела величина (неким) подскуповима базног скупа. Зависно од примене, величина подскупа се може интерпретирати и као физичка величина, количина нечега која лежи у подскупу, или као вероватноћа да ће неки случајан процес довести до резултата из тог подскупа. Главна употреба мере је у дефинисању општих појмова интеграције над доменима са комплекснијим структурама него што су интервали на реалној правој. Такви интеграли се примењују у теорији вероватноће, као и у математичкој анализи.

Често није могуће или пожељно да се додели величина свим подскуповима базног скупа, па мера то не мора ни да учини. Постоје одређени услови конзистентности који одређују којим комбинацијама подскупова мера може да додели величине; ти услови су садржани у помоћном концепту σ-алгебре.

Теорија мере је грана реалне анализе која проучава σ-алгебре, мере, мерљиве функције и интеграле.

Неформално, мера пресликава скупове у ненегативне реалне бројеве, тако да се већи скупови сликају у веће бројеве.

Дефиниција

Формално, мера μ је функција дефинисана на σ-алгебри Σ над скупом X и узима вредности у проширеном интервалу [0, ∞], тако да су следећа својства задовољена:

• Празан скуп има меру нула:

$\mu (\varnothing )=0$.

• Пребројива адитивност или σ-адитивност: ако је $E_{1},E_{2},E_{3},\,\!$ ... пребројив низ у пару дисјунктних скупова из $\Sigma$, мера уније свих $E_{i}\,\!$ је једнака суми мера свих $E_{i}\,\!$:

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$

Тројка (X, Σ, μ) се тада назива простором мере, а скупови из Σ се називају мерљивим скуповима.

Мера вероватноће је мера са укупном мером један (то јест, μ(X)=1); простор вероватноће је простор мере са мером вероватноће.

За просторе мере који су уједно и тополошки простори, могу се поставити разни услови компатибилности за меру и топологију. Већина мера које се срећу у пракси у анализи (а у многим случајевима и у теорији вероватноће) су Радонове мере. На свакој локално компактној тополошкој групи може се дефинисати до на множење константом јединствена транслаторно инваријантна мера Хара.

Немерљиви скупови

Главни чланак: Немерљиви скупови

Нису сви скупови над еуклидским простором Лебег мерљиви; примери таквих скупова су Виталијев скуп, и немерљиви скупови постулирани Хаусдорфовим парадоксом и парадоксом Банаха-Тарског.

Литература

• R. G. Bartle, 1995. The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Interscience.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-41129-1 Chapter III.
• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-317160-0  Second edition.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• R. Duncan Luce and Louis Narens (1987). "measurement, theory of," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 3, pp. 428-32.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63519-4.