- За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.
У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената
Ако
![{\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fccd7ebef5d523b47d060183df5f5fd9bf15d8c0)
је полином степена
са комплексним коефицијентима
(па су бројеви
комплексни, и
), по основној теореми аритметике
има
(не обавезно различитих) комплексних корена
Вијетове формуле кажу да
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/846ac9426484c5ed35f22764986d9bb9cd29b325)
![{\displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900069eb78630baa5f2c6044416a2bc787bd3bd8)
![{\displaystyle \cdots \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/001f1629c8e9d8804dc690581aed9e25d68df7df)
![{\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae33688154396870190ab2283a94d6fb9817fbf1)
Другим речима, сума свих могућих производа
нула полинома
је једнака
![{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f9f93dec62bac30399fdd3dbb5eac0ef0cd901)
за свако
Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена
има
нула у том прстену.
За полином другог степена
, Вијетове формуле гласе да су решења
и
квадратна једначина
задовољавају
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc6152277a664f022e8c7fe6bd316cb271c235ce)
Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од P.
Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости
![{\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897968d259df941464801f29ebcdcff04a60d4b5)
(што је тачно, јер
су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена
.
- Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8.
- Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.