Правило:
f
′
(
x
)
=
1
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}
Пример за произвољно
x
0
≈
5.8
{\displaystyle x_{0}\approx 5.8}
:
f
′
(
x
0
)
=
1
4
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
0
)
)
=
4
{\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~}
У математици , инверз функције
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
је функција која, на неки начин, "поништава" ефекат функције
f
{\displaystyle f}
(види инверзна функција за формалну и детаљнију дефиницију). Инверзна функција функције
f
{\displaystyle f}
се означава као
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
. Изрази y = f (x ) и x = f −1 (y ) су једнаки.
Изводи ове две функције, под претпоставком да постоје, су реципрочни:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}
Ово је директна последица правила извода сложене функције , пошто је, по Лајбницовим ознакама:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
d
x
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}
а извод од
x
{\displaystyle x}
по
x
{\displaystyle x}
је 1.
Ако експлицитно запишемо зависност
y
{\displaystyle y}
на
x
{\displaystyle x}
и уврстимо тачку диференцијације користећи Лагранжову нотацију, формула за извод инверзне функције постаје:
[
f
−
1
]
′
(
a
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
a
)
)
{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}
Геометријски, функција и њен инверз имају графике који су пресликане рефлексије у огледалу, по линији y = x . Ова рефлексија заправо претвара нагиб тангенте сваке тачке у њену реципрочну вредност.
Ако претпоставимо да за функцију
f
{\displaystyle f}
постоји инверзна функција, и да је њен извод не-нулти, инверз је увек диференцијабилан у
x
{\displaystyle x}
и има вредност као из формуле изнад.
y
=
x
2
{\displaystyle \,y=x^{2}}
(за позитивне вредности
x
{\displaystyle x}
) има инверзну функцију
x
=
y
{\displaystyle x={\sqrt {y}}}
.
d
y
d
x
=
2
x
;
d
x
d
y
=
1
2
y
=
1
2
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
2
x
⋅
1
2
x
=
1.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}
Међутим, у тачки x = 0 наилазимо на проблем. График квадратног корена ту има асимптоту и постаје вертикалан (што одговара хоризонталној тангенти функције квадрантног корена).
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
(за реалне вредности
x
{\displaystyle x}
) има инверзну функцију
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln {y}}
(за позитивне вредности
y
{\displaystyle y}
)
d
y
d
x
=
e
x
;
d
x
d
y
=
1
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
e
x
⋅
1
y
=
e
x
e
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}
Идентитет изнад се добија коришћењем правила извода сложене функције по x , за формулу x = f −1 (f (x )) . Овај процес се може наставити и за изводе вишег реда. Диференцијација овог идентита два пута, по x даје:
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
+
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}
или ако заменимо први извод из формуле изнад:
d
2
y
d
x
2
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
3
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}
Исто тако, за трећи извод добијамо:
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
−
3
d
2
x
d
y
2
⋅
d
2
y
d
x
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
или искоршавајући формулу за други извод:
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}
Ове формуле су генерализоване као Фа ди Брунове формуле .
Ове формуле можемо да напишемо и преко Лајбницових ознака. Ако су f и g међусобно инверзне функције, онда
g
″
(
x
)
=
−
f
″
(
g
(
x
)
)
[
f
′
(
g
(
x
)
)
]
3
{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
има инверзну функцију
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln y}
. Коришћењем формуле за други извод инверзне функције добијамо:
d
y
d
x
=
d
2
y
d
x
2
=
e
x
=
y
;
(
d
y
d
x
)
3
=
y
3
;
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}
тако да је
d
2
x
d
y
2
⋅
y
3
+
y
=
0
;
d
2
x
d
y
2
=
−
1
y
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}
,
што се слаже са директним израчунавањем.