Pravilo:
f
′
(
x
)
=
1
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}
x
0
≈
5.8
{\displaystyle x_{0}\approx 5.8}
f
′
(
x
0
)
=
1
4
{\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}
(
f
−
1
)
′
(
f
(
x
0
)
)
=
4
{\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~}
U matematici , inverz funkcije
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
f
{\displaystyle f}
inverzna funkcija za formalnu i detaljniju definiciju). Inverzna funkcija funkcije
f
{\displaystyle f}
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
y = f (x )x = f −1 (y )
Izvodi ove dve funkcije, pod pretpostavkom da postoje, su recipročni:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
1.
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}
Ovo je direktna posledica pravila izvoda složene funkcije , pošto je, po Lajbnicovim oznakama:
d
x
d
y
⋅
d
y
d
x
=
d
x
d
x
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}
a izvod od
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
Ako eksplicitno zapišemo zavisnost
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
[
f
−
1
]
′
(
a
)
=
1
f
′
(
f
−
1
(
a
)
)
{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}
Geometrijski, funkcija i njen inverz imaju grafike koji su preslikane refleksije u ogledalu, po liniji y = x
Ako pretpostavimo da za funkciju
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
y
=
x
2
{\displaystyle \,y=x^{2}}
x
{\displaystyle x}
x
=
y
{\displaystyle x={\sqrt {y}}}
d
y
d
x
=
2
x
;
d
x
d
y
=
1
2
y
=
1
2
x
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
2
x
⋅
1
2
x
=
1.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}
Međutim, u tački x = 0
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
x
{\displaystyle x}
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln {y}}
y
{\displaystyle y}
d
y
d
x
=
e
x
;
d
x
d
y
=
1
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}}
d
y
d
x
⋅
d
x
d
y
=
e
x
⋅
1
y
=
e
x
e
x
=
1
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1}
Identitet iznad se dobija korišćenjem pravila izvoda složene funkcije po x , za formulu x = f −1 (f (x ))x daje:
d
2
y
d
x
2
⋅
d
x
d
y
+
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0}
ili ako zamenimo prvi izvod iz formule iznad:
d
2
y
d
x
2
=
−
d
2
x
d
y
2
⋅
(
d
y
d
x
)
3
.
{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}
Isto tako, za treći izvod dobijamo:
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
−
3
d
2
x
d
y
2
⋅
d
2
y
d
x
2
⋅
(
d
y
d
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}
ili iskoršavajući formulu za drugi izvod:
d
3
y
d
x
3
=
−
d
3
x
d
y
3
⋅
(
d
y
d
x
)
4
+
3
(
d
2
x
d
y
2
)
2
⋅
(
d
y
d
x
)
5
{\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}
Ove formule su generalizovane kao Fa di Brunove formule .
Ove formule možemo da napišemo i preko Lajbnicovih oznaka. Ako su f i g međusobno inverzne funkcije, onda
g
″
(
x
)
=
−
f
″
(
g
(
x
)
)
[
f
′
(
g
(
x
)
)
]
3
{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}
y
=
e
x
{\displaystyle \,y=e^{x}}
x
=
ln
y
{\displaystyle \,x=\ln y}
d
y
d
x
=
d
2
y
d
x
2
=
e
x
=
y
;
(
d
y
d
x
)
3
=
y
3
;
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}
tako da je
d
2
x
d
y
2
⋅
y
3
+
y
=
0
;
d
2
x
d
y
2
=
−
1
y
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}
što se slaže sa direktnim izračunavanjem.
![{\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662f1be67eb38c8d7ecf30fd8afda594671fbeec)
![{\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c374bf89ec0cde43e6ec3e86cbf86490e55f35d)
