Компактан простор

Интервал А = (−∞, −2] није компактан зато што није ограничен. Интервал C = (2, 4) није компктан зато што није затворен. Интервал Б = [0, 1] је компактан зато што је затворен и ограничен.

У математици, и специфичније општој топологији, компактност је својство које генерализује појам подскупа Еуклидовог простора који је затворен (да садржи све своје граничне тачке) и ограничен (онај код кога све његове тачке леже на датом фиксном растојању једна од друге). Примери су затворени интервал, четвороугао, или коначни сет тачака. Овај је појам дефинисан за општије тополошке просторе, него што је Еуклидов простор на разне начине.

Једна таква генерализација је да је тополошки простор секвенцијално компактан ако сваки инфинитивни низ тачака узет као узорак простора има бесконачни подниз који конвергира у исту тачку простора. Болцано-Вајерштрасова теорема наводи да је подскуп Еуклидовог простора компактан у овом секвенцијалном смислу ако и само ако је затворен и ограничен. Стога, ако се изабере бесконачан број тачака у затвореном јединичном интервалу [0, 1] неке од тих тачака ће бити произвољно близо неким реалном броју у том простору. На пример, неки од бројева 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … се акумулирају до 0 (други се акумулирају до 1). Исти скуп тачака се не би акумулирао до било које тачке отвореног јединичног интервала (0, 1); тако да отворени јединични интервал није компактан. Сам Еуклидов простор није компактан, јер није ограничен. На пример, низ тачака 0, 1, 2, 3, … није низ који конвергира у било који реални број.

Осим затворених и ограничених подскупова Еуклидовог простора, типични примери компактних простора обухватају просторе који се не састоје од геометријских тачака већ од функција. Термин компактан је увео у математику Морис Фреше 1904. године као дестилацију овог концепта. Компактност у овој генералнијој ситуацији игра екстремно важну улогу у математичкој анализи, зато што се многе класичне и важне теореме анализе 19. века, као што је теорема екстремне вредности, лако генерализују у овој ситуацији. Типичну примену пружа Арцела-Асколијева теорема или Пеанова теорема постојања, према којој је могуће извести закључак о постојању функције с неким траженим својствима као ограничавајући случај дате елементарније конструкције. Након његовог почетног увођења, различити еквивалентни појмови компактности, укључујући секвенцијалну компактност и компактност граничне тачке, развијени су у општим метричким просторима.

Историјски развој

У 19. веку је формулисано неколико различитих математичких својстава која ће се касније сматрати последицама компактности. С једне стране, Бернард Болкано (1817) је био свестан да сваки ограничени низ тачака (на пример, на правој или равни) има подниз који се на крају мора произвољно приближити некој другој тачки, која се зове гранична тачка. Болзанов доказ се ослањао на методу бисекције: низ је стављен у интервал који је затим подељен на два једнака дела, и део који садржи бесконачно много чланова низа је изабран. Процес би се затим могао поновити дељењем резултујућег мањег интервала на све мање и мање делове - док се не затвори на жељеној граничној тачки. Потпуни значај Болцанове теореме и њеног метода доказивања појавиће се тек скоро 50 година касније када је то поново открио Карл Вајерштрас.

Током 1880-их постало је јасно да се резултати слични Болцано-Вајерштрасовој теореми могу формулисати за просторе функција, а не само за бројеве или геометријске тачке. Идеја да се функције посматрају као саме тачке генерализованог простора датира још од истраживања Ђулија Асколија и Чезара Арзеле. Врхунац њихових истраживања, Арзела-Асколијева теорема, била је генерализација Болцано-Вајерштрасове теореме на породице непрекидних функција, чији је прецизан закључак био да је могуће ексраховати униформно конвергентан низ функција из одговарајуће породице функција. Униформна граница овог низа је тада играла потпуно исту улогу као и Болцанова „гранична тачка“. Почетком двадесетог века, резултати слични онима Арзеле и Асколија почели су да се акумулирају у области интегралних једначина, као што су истраживали Давид Хилберт и Ерхард Шмит. За одређену класу Гринових функција које потичу из решења интегралних једначина, Шмит је показао да се особина аналогна Арзела-Асколијевој теореми одржава у смислу средње конвергенције — или конвергенције у ономе што ће касније бити названо Хилбертов простор. Ово је на крају довело до појма компактног оператора као изданка општег појма компактног простора. Морис Фреше је био тај који је 1906. године дестилирао суштину Болцано–Вајерштрасовог својства и сковао термин компактност да би се односио на овај општи феномен (он је користио тај термин већ у свом раду из 1904. године који је довео до чувене тезе из 1906. године).

Литература

• Алеxандров, Павел; Урyсохн, Павел (1929), „Мéмоире сур лес еспацес топологиqуес цомпацтс”, Конинклијке Недерландсе Академие ван Wетенсцхаппен те Амстердам, Процеедингс оф тхе сецтион оф матхематицал сциенцес, 14 .
• Аркхангел'скии, А.V.; Федорцхук, V.V. (1990), „Тхе басиц цонцептс анд цонструцтионс оф генерал топологy”, Ур.: Аркхангел'скии, А.V.; Понтрјагин, L.С., Генерал топологy I, Енцyцлопедиа оф тхе Матхематицал Сциенцес, 17, Спрингер, ИСБН 978-0-387-18178-3 .
• Аркхангел'скии, А.V. (2001). „Цомпацт спаце”. Ур.: Хазеwинкел Мицхиел. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. .
• Болзано, Бернард (1817), Реин аналyтисцхер Беwеис дес Лехрсатзес, дасс зwисцхен је зwеy Wертхен, дие еин ентгегенгесетзес Ресултат геwäхрен, wенигстенс еине рееле Wурзел дер Глеицхунг лиеге, Wилхелм Енгелманн  (Пурелy аналyтиц прооф оф тхе тхеорем тхат бетwеен анy тwо валуес wхицх гиве ресултс оф оппосите сигн, тхере лиес ат леаст оне реал роот оф тхе еqуатион).
• Борел, Éмиле (1895), „Сур qуелqуес поинтс де ла тхéорие дес фонцтионс”, Анналес Сциентифиqуес де л'Éцоле Нормале Супéриеуре, 3, 12: 9—55, ЈФМ 26.0429.03 
• Боyер, Царл Б. (1959), Тхе хисторy оф тхе цалцулус анд итс цонцептуал девелопмент, Неw Yорк: Довер Публицатионс, МР 0124178 .
• Арзелà, Цесаре (1895), „Сулле фунзиони ди линее”, Мем. Аццад. Сци. Ист. Бологна Цл. Сци. Фис. Мат., 5 (5): 55—74 .
• Арзелà, Цесаре (1882—1883), „Ун'оссервазионе инторно алле серие ди фунзиони”, Ренд. Делл' Аццад. Р. Делле Сци. Делл'Иституто ди Бологна: 142—159 .
• Асцоли, Г. (1883—1884), „Ле цурве лимити ди уна вариетà дата ди цурве”, Атти делла Р. Аццад. Деи Линцеи Меморие делла Цл. Сци. Фис. Мат. Нат., 18 (3): 521—586 .
• Фрéцхет, Маурице (1906), „Сур qуелqуес поинтс ду цалцул фонцтионнел”, Рендицонти дел Цирцоло Математицо ди Палермо, 22 (1): 1—72, дои:10.1007/БФ03018603 .
• Гиллман, Леонард; Јерисон, Меyер (1976), Рингс оф цонтинуоус фунцтионс, Спрингер-Верлаг .
• Келлеy, Јохн (1955), Генерал топологy, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 27, Спрингер-Верлаг .
• Клине, Моррис (1972), Матхематицал тхоугхт фром анциент то модерн тимес (3рд изд.), Оxфорд Университy Пресс (објављено 1990), ИСБН 978-0-19-506136-9 .
• Лебесгуе, Хенри (1904), Леçонс сур л'интéгратион ет ла рецхерцхе дес фонцтионс примитивес, Гаутхиер-Вилларс .
• Робинсон, Абрахам (1996), Нон-стандард аналyсис, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-04490-3, МР 0205854 .
• Сцарбороугх, C.Т.; Стоне, А.Х. (1966), „Продуцтс оф неарлy цомпацт спацес” (ПДФ), Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, Трансацтионс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, Вол. 124, Но. 1, 124 (1): 131—147, ЈСТОР 1994440, дои:10.2307/1994440 .
• Стеен, Лyнн Артхур; Сеебацх, Ј. Артхур Јр. (1995) [1978], Цоунтереxамплес ин Топологy (Довер Публицатионс репринт оф 1978 изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-486-68735-3, МР 507446 
• Wиллард, Степхен (1970), Генерал Топологy, Довер публицатионс, ИСБН 978-0-486-43479-7 
• Адамс, Роберт А. (1995). Цалцулус : А Цомплете Цоурсе. Реадинг: Аддисон-Wеслеy. стр. 706—707. ИСБН 0-201-82823-5. 
• Рудин, Wалтер (1976). Принциплес оф Матхематицал Аналyсис. Неw Yорк: МцГраw Хилл. стр. 89—90. ИСБН 0-07-054235-X. 
• Боурбаки, Ницолас (1998), Генерал топологy. Цхаптерс 5–10, Елементс оф Матхематицс, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-64563-4, МР 1726872 .
• Диеудоннé, Јеан (1988), Фоундатионс оф модерн аналyсис, Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-215507-9 
• Дрониоу, Јéрôме; Еyмард, Роберт (2016), „Униформ-ин-тиме цонвергенце оф нумерицал метходс фор нон-линеар дегенерате параболиц еqуатионс”, Нумер. Матх., 132 (4): 721—766, С2ЦИД 5287603, арXив:2003.09067 , дои:10.1007/с00211-015-0733-6 .
• Дунфорд, Нелсон; Сцхwартз, Јацоб Т. (1958), Линеар операторс, волуме 1, Wилеy-Интерсциенце .
• Фрéцхет, Маурице (1906), „Сур qуелqуес поинтс ду цалцул фонцтионнел”, Ренд. Цирц. Мат. Палермо, 22: 1—74, С2ЦИД 123251660, дои:10.1007/БФ03018603, хдл:10338.дмлцз/100655 .
• Арзелà-Асцоли тхеорем ат Енцyцлопаедиа оф Матхематицс
• Келлеy, Ј. L. (1991), Генерал топологy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90125-1 
• Келлеy, Ј. L.; Намиока, I. (1982), Линеар Топологицал Спацес, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90169-5 
• Рудин, Wалтер (1976), Принциплес оф матхематицал аналyсис, МцГраw-Хилл, ИСБН 978-0-07-054235-8 
• Осгоод, W. Ф. (1898). „Беwеис дер Еxистенз еинер Лöсунг дер Дифферентиалглеицхунг дy/дx = ф(x, y) охне Хинзунахме дер Цауцхy-Липсцхитзцхен Бедингунг”. Монатсхефте фüр Матхематик. 9: 331—345. С2ЦИД 122312261. дои:10.1007/БФ01707876. 
• Цоддингтон, Еарл А.; Левинсон, Норман (1955). Тхеорy оф Ординарy Дифферентиал Еqуатионс. Неw Yорк: МцГраw-Хилл. 
• Мурраy, Францис Ј.; Миллер, Кеннетх С. (1976) [1954]. Еxистенце Тхеоремс фор Ординарy Дифферентиал Еqуатионс (Репринт изд.). Неw Yорк: Криегер. 
• Тесцхл, Гералд (2012). Ординарy Дифферентиал Еqуатионс анд Дyнамицал Сyстемс. Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 978-0-8218-8328-0. 

Спољашње везе

• Цоунтаблy цомпацт ат ПланетМатх.орг.
• Сундстрöм, Манyа Раман (2010). „А педагогицал хисторy оф цомпацтнесс”. арXив:1006.4131в1  [матх.ХО].