Сноп (математика)

У математици, сноп је алат за систематско праћење локално дефинисаних података везаних за отворене скупове тополошког простора. Подаци се могу ограничити на мање отворене скупове, а подаци додељени отвореном скупу су еквивалентни свим колекцијама компатибилних података додељених збиркама мањих отворених скупова који покривају изворне. На пример, такви подаци могу се састојати од прстенова непрекидних или глатких реално вредносних функција дефинисаних на сваком отвореном скупу. Снопови су по дизајну прилично општи и апстрактни објекти, и њихова коректна дефиниција је прилично техничка. Они су различито дефинисани, на пример, као снопови скупова или снопови прстенова, зависно од типа података додељених отвореним скуповима.

Постоје такође мапе (или морфизми) од једног снопа до другог; снопови (специфичног типа, попут снопова абеловских група) са својим морфизмима на фиксном тополошком простору формирају категорију. С друге стране, свакој непрекидној мапи придружен је и функтор директног имиџа, узимајући снопове и њихове морфизме на домену у снопове и морфизме на кододену, и функтор инверзног имиџа који делује у супротном смеру. Ови функтори и њихове одређене варијанте су есенцијални делови теорије снопова.

Због своје опште природе и свестраности, снопови имају неколико примена у топологији, а посебно у алгебарској и диференцијалној геометрији. Прво, геометријске структуре као што су диференцијабилне многострукости или шеме могу се изразити снопом прстенова на простору. У таквим је контекстима неколико геометријских конструкција попут векторских свежњева или разделника природно одређено у облику снопова. Друго, снопови пружају оквир за врло општу теорију кохомологије, која обухвата и „уобичајене” теорије тополошке кохомологије, као што је сингуларне кохомологије. Посебно у алгебарској геометрији и теорији комплексних многострукости, кохомологија снопова пружа снажну везу између тополошких и геометријских својстава простора. Снопови такође дају основу за теорију D-модула који пружају апликације теорији диференцијалних једначина. Поред тога, генерализације снопова на општије поставке од тополошких простора, попут Гротендикове топологије, пружиле су апликације за математичку логику и теорију бројева.

Преглед

У топологији, диференцијалној геометрији, и алгебарској геометрији, неколико структура дефинисаних у тополошком простору (е.г., диференцијабилна многострукост) могу се природно локализовати или ограничити на отворене подскупе простора: типични примери укључују континуиране функције реалних или комплексних вредности, n пута диференцијабилних (реално или комплексно вредносних) функција, ограничених реално вредносних функција, векторских поља, и секција било ког векторског свежња у простору.

Преснопови формализују ситуацију заједничку за горе наведене примере: пресноп (скупова) на тополошком простору је структура која сваком отвореном скупу U простора придружује скуп F(U) секција на U, и за сваки отворени скуп V укључен у U мапа F(U) → F(V) даје ограничења секције над U до V. Сваки од горњих примера дефинише пресноп узимајући да су ограничења мапе уобичајена ограничења функција, векторских поља и секција векторог снопа. Штавише, у сваком од ових примера скупови секција имају додатну алгебарску структуру: операције на тачкама их чине абеловским групама, а у примерима реалних и комплексно вредносних функција скупови секција имају чак и прстенасту структуру. Поред тога, у сваком примеру рестрикције мапе су хомоморфизми кореспондирајуће алгебарске структуре. Ово запажање доводи до природне дефиниције преснопова са додатном алгебарском структуром, као што су предснопови група, абеловске групе, прстенова: сетови секција морају имати специфичну алгебарску структуру, а ограничења су потребна за хомоморфизме. Тако, на пример, континуиране реално вредносне функције на тополошком простору формирају предсноп прстенова у простору.

За дати пресноп, природно је поставити питање до које мере су његове секције над отвореним скупом U одређене ограничењима на мањим отвореним скуповима V_i отвореног покривача U. Пресноп је одвојен ако су његови делови „локално одређени”: кад год се две секције над U подударају ако су ограничене на свако од V_i, два секције су идентичне. Сви горе наведени примери преснопова су одвојени, јер су у сваком случају секције одређене њиховим вредностима у тачкама датог простора. Коначно, одвојени пресноп је сноп ако се компатибилне секције могу спојити заједно, тј. кад год постоји секција преснопа над сваким од покровних сетова V_i, изабрана тако да се они подударају на преклапањима прекривних сетова, те секције кореспондирају (јединственој) секцији на U, чија су они ограничења. Лако је проверити да су сви горе наведени примери, осим преснопа ограничених функција, заправо снопови: у свим случајевима критеријум припадности секцији преснопа је локалан у смислу да је довољно да се верификује у произвољном окружењу сваке тачке.

С друге стране, функција може бити ограничена на сваком скупу (бесконачног) отвореног покривача простора без ограничавања на целом простору; тако ограничене функције пружају пример (одвојеног) преснопа који генерално не постаје сноп. Други пример преснопа који не постаје сноп је константан пресноп који сваком отвореном скупу придружује исти фиксни скуп (или абеловску групу, или прстен, ...): из својства спајања снопова произлази да је сет секција на раздвојеној унији два отворена скупа картезијански производ сетова секција над два отворена скупа. Исправан начин да се на тополошком простору дефинише константан сноп Ф_А (повезан са на пример скупом А) је да се захтева да секције на отвореном скупу У буду континуиране мапе од U на А опремљене дискретном топологијом; онда у датом Ф_А(У) = А за повезани U.

Мапе између снопова или преснопова (које се називају морфизми) састоје се од мапа између скупова секција преко сваког отвореног скупа датог простора, компатибилних са ограничењима секција. Ако се разматраним пресноповима или сноповима да додатна алгебарска структура, те мапе се сматрају хомоморфизмима. Од посебног су интереса снопови са нетривијалним ендоморфизмима, попут дејства алгебарског торуса или групе Галоа.

Преснопови и снопови се типично означавају великим словима, а Ф је нарочито уобичајено, вероватно по француској речи снопови, faisceaux. Употреба калиграфских слова као што је ${\mathcal {F}}$ такође је уобичајена.

Литература

• Годемент, Рогер (1973), Топологие алгéбриqуе ет тхéорие дес фаисцеауx, Парис: Херманн, МР 0345092 
• Гротхендиецк, Алеxандер (1957), „Сур qуелqуес поинтс д'алгèбре хомологиqуе”, Тхе Тохоку Матхематицал Јоурнал, Сецонд Сериес, 9: 119—221, ИССН 0040-8735, МР 0102537, дои:10.2748/тмј/1178244839 
• Хирзебруцх, Фриедрицх (1995), Топологицал метходс ин алгебраиц геометрy, Цлассицс ин Матхематицс, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-58663-0, МР 1335917  (упдатед едитион оф а цлассиц усинг еноугх схеаф тхеорy то схоw итс поwер)
• Мац Лане, Саундерс; Моердијк, Иеке (1994), Схеавес ин Геометрy анд Логиц: А Фирст Интродуцтион то Топос Тхеорy, Университеxт, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-97710-2, МР 1300636  (цатегорy тхеорy анд топосес емпхасисед)
• Мартин, Wиллиам Т.; Цхерн, Схиинг-Схен; Зариски, Осцар (1956), „Сциентифиц репорт он тхе Сецонд Суммер Институте, северал цомплеx вариаблес”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 62 (2): 79—141, ИССН 0002-9904, МР 0077995, дои:10.1090/С0002-9904-1956-10013-X 
• Ј. Артхур Сеебацх, Линда А. Сеебацх & Лyнн А. Стеен (1970) "Wхат ис а Схеаф", Америцан Матхематицал Монтхлy 77:681–703 МР0263073.
• Серре, Јеан-Пиерре (1955), „Фаисцеауx алгéбриqуес цохéрентс” (ПДФ), Анналс оф Матхематицс, Сецонд Сериес, 61 (2): 197—278, ИССН 0003-486X, ЈСТОР 1969915, МР 0068874, дои:10.2307/1969915, Архивирано из оригинала (ПДФ) 17. 07. 2011. г., Приступљено 05. 01. 2020 
• Сwан, Рицхард Г. (1964), Тхе Тхеорy оф Схеавес, Университy оф Цхицаго Пресс  (цонцисе лецтуре нотес)
• Теннисон, Баррy Р. (1975), Схеаф тхеорy, Цамбридге Университy Пресс, МР 0404390  (педагогиц треатмент)
• Армстронг, M. А. (1983) [1979]. Басиц Топологy. Ундерградуате Теxтс ин Матхематицс. Спрингер. ИСБН 978-0-387-90839-7. 
• Бредон, Глен Е., Топологy анд Геометрy (Градуате Теxтс ин Матхематицс), Спрингер; 1ст едитион (Оцтобер 17). 1997. ISBN 978-0-387-97926-7..
• Боурбаки, Ницолас; Елементс оф Матхематицс: Генерал Топологy, Аддисон-Wеслеy (1966).
• Броwн, Роналд, Топологy анд Гроупоидс, Бооксурге. 2006. ISBN 978-1-4196-2722-4. (3рд едитион оф дифферентлy титлед боокс)
• Чецх, Едуард; Поинт Сетс, Ацадемиц Пресс (1969).
• Фултон, Wиллиам, Алгебраиц Топологy, (Градуате Теxтс ин Матхематицс), Спрингер; 1ст едитион (Септембер 5). 1997. ISBN 978-0-387-94327-5..
• Галлиер, Јеан; Xу, Дианна (2013). А Гуиде то тхе Цлассифицатион Тхеорем фор Цомпацт Сурфацес. Спрингер. 
• Гаусс, Царл Фриедрицх; Генерал инвестигатионс оф цурвед сурфацес, 1827.
• Липсцхутз, Сеyмоур; Сцхаум'с Оутлине оф Генерал Топологy, МцГраw-Хилл; 1ст едитион (Јуне 1). 1968. ISBN 978-0-07-037988-6..
• Мункрес, Јамес; Топологy, Прентице Халл; 2нд едитион (Децембер 28). 1999. ISBN 978-0-13-181629-9..
• Рунде, Волкер; А Тасте оф Топологy (Университеxт), Спрингер; 1ст едитион (Јулy 6). 2005. ISBN 978-0-387-25790-7..
• Сцхуберт, Хорст (1968), Топологy, Мацдоналд Тецхницал & Сциентифиц, ИСБН 978-0-356-02077-8 
• Стеен, Лyнн А. анд Сеебацх, Ј. Артхур Јр.; Цоунтереxамплес ин Топологy, Холт, Ринехарт анд Wинстон. 1970. ISBN 978-0-03-079485-8..
• Ваидyанатхасwамy, Р. (1960). Сет Топологy. Цхелсеа Публисхинг Цо. ИСБН 9780486404561. 
• Wиллард, Степхен (2004). Генерал Топологy. Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-43479-7. 
• Доналдсон, Симон (1983). „Ан апплицатион оф гауге тхеорy то фоур-дименсионал топологy”. Јоурнал оф Дифферентиал Геометрy. 18 (2): 279—315. 
• Хартсхорне, Робин (1977). Алгебраиц Геометрy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90244-9. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Дифферентиабле манифолд”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Керваире, Мицхел А. (1960). „А манифолд wхицх доес нот адмит анy дифферентиабле струцтуре”. Цомментарии Матхематици Хелветици. 34 (1): 257—270. дои:10.1007/БФ02565940. .
• Кобаyасхи, Схосхицхи (1972). Трансформатион гроупс ин дифферентиал геометрy. Спрингер. 
• Лее, Јеффреy M. (2009), Манифолдс анд Дифферентиал Геометрy, Градуате Студиес ин Матхематицс, Вол. 107, Провиденце: Америцан Матхематицал Социетy  .
• Леви-Цивита, Туллио (1927). Тхе абсолуте дифферентиал цалцулус (цалцулус оф тенсорс). 
• Милнор, Јохн (1956). „Он Манифолдс Хомеоморпхиц то тхе 7-Спхере”. Анналс оф Матхематицс. 64: 399—405. ЈСТОР 1969983. дои:10.2307/1969983. 
• Раницки, Андреw (2002). Алгебраиц анд Геометриц Сургерy. Оxфорд Матхематицал Монограпхс, Цларендон Пресс. ИСБН 978-0-19-850924-0. 
• Рицци-Цурбастро, Грегорио; Леви-Цивита, Туллио (1901). Дие Метходен дес абсолутен Дифферентиалкалкулс. 
• Рицци-Цурбастро, Грегорио (1888). „Делле деривазиони цоварианти е цонтроварианти е дел лоро усо нелла аналиси апплицата (Италиан)”. 
• Риеманн, Бернхард (1867). „Уебер дие Хyпотхесен, wелцхе дер Геометрие зу Грунде лиеген (Он тхе Хyпотхесес wхицх лие ат тхе Басес оф Геометрy)”. Абхандлунген дер Кöниглицхен Геселлсцхафт дер Wиссенсцхафтен зу Гöттинген. 13.  Аваилабле онлине ат Тринитy Цоллеге Дублин
• Села, Злил (1995). „Тхе исоморпхисм проблем фор хyперболиц гроупс. И”. Анналс оф Матхематицс. Анналс оф Матхематицс. 141 (2): 217—283. ЈСТОР 2118520. дои:10.2307/2118520. 
• Стернберг, Схломо (1964). Лецтурес он Дифферентиал Геометрy. Прентице-Халл. 
• Wеисстеин, Ериц W. „Смоотх Манифолд”. Приступљено 2008-03-04. 
• Wеyл, Херманн (1955). Дие Идее дер Риеманнсцхен Флäцхе. Теубнер. 
• Wхитнеy, Хасслер (1936). „Дифферентиабле Манифолдс”. Анналс оф Матхематицс. Анналс оф Матхематицс. 37 (3): 645—680. ЈСТОР 1968482. дои:10.2307/1968482. 

Спољашње везе

• „Схеаф”. ПланетМатх.