Теорија Галоа

Дијаграм решетке ℚ суседних позитивних квадратних корена од 2 и 3, њихових потпоља, и група Галоа.

У математици, теорија Галоа пружа везу између теорије поља и теорије група. Кориштењем теорије Галоа, извесни проблеми у теорији поља могу се свести на теорију група, што је на неки начин једноставније и лакше разумљиво. Она је коришћена за решавање класичних проблема, укључујући напор којим је показано да се два античка проблема не могу решити на начин на који су наведени (удвостручење коцке и трисектирање угла; трећи антички проблем, квадратура круга, такође је нерешив, али је то показано другим методима); показано је да не постоји квинтна формула; и показано је који се полигони могу конструисати.

Теорија је названа по Еваристу Галоа, који ју је увео ради проучавања корена полинома и карактеризације полиномских једначина које су решиве радикалима у смислу својстава пермутацијске групе њихових корена - једначина је решива радикалима ако се њени корени могу изразити формулом која укључује само целе бројеве, н-те корене и четири основне аритметичке операције.

Ову теорију су популаризовали многи математичари и даље су је развили Ричард Дедекинд, Леополд Кронекер, Емил Артин и други који су пермутацијску групу корена тумачили као групу аутоморфизма екстензије поља.

Теорија Галоа је била генерализована до Галоаових веза и теорије Гротендика Галоа.

Примене на класичне проблеме

Настанак и развој теорије Галоа био је узрокован следећим питањем, које је било једно од главних отворених математичких питања до почетка 19. века:

Да ли постоји формула за корене полиномске једначине петог (или вишег) степена у смислу коефицијената полинома, користећи само уобичајене алгебарске операције (сабирање, одузимање, множење, дељење) и примену радикала (квадратне корене, кубне корене, етц)?

Абел-Рафинијева теорема пружа супротни пример којим се доказује да постоје полиномске једначине за које таква формула не може да постоји. Теорија Галоа даје знатно комплетнији одговор на ово питање, објашњавајући зашто је могуће да се реше неке једначине, укључујући све оне са степеном четири или мање, у горњем маниру, и зашто то није могуће за већину једначина степена пет или више. Даље, она даје концептуално јасан и лак за трансформисање у алгоритам, начин да се утврди када се дата једначина вишег степена може решити на тај начин.

Теорија Галоа даје јасан увид у питања која се тичу проблема при конструкцији лењиром и шестаром. Она даје елегантну карактеризацију односа дужина који се могу конструирати овом методом. Користећи то, постаје релативно лако одговорити на класичне проблеме геометрије као су

• Који се регуларни полигони могу конструисати?
• Зашто није могуће трисектирати сваки угао помоћу лењира и шестара?
• Зашто удвостручавање коцке није могуће истом методом?

Историја

Рана историја

Теорија Галоа је настала при проучавању симетричних функција – коефицијенти моничког полинома су (до предзнака) елементарни симетрични полиноми у коренима. На пример, (x – а)(x – б) = x² – (а + б)x + аб, где су 1, а + б и аб елементарни полиноми степена 0, 1 и 2 у две променљиве.

Ово је први формализовао француски математичар Франсоа Вијет из 16. века, у Вијетовим формулама, за случај позитивних реалних корена. По мишљењу британског математичара из 18. века Чарлса Хатона, израз коефицијената полинома у смислу корена (не само за позитивне корене) први је разумео француски математичар из 17. века Алберт Жиро; Хатон пише:

...[Гиро је била] прва особа која је разумела општу доктрину формирања коефицијената степена из збира корена и њихових производа. Он је био први који је открио правила за сабирање степена корена било које једначине.

Списи

Године 1830, Гало (са 18 година) је поднео Париској академији наука мемоаре о својој теорији решивости помоћу радикала; његов рад је ултиматно одбијен 1831. године као превише недовршен и што је дао услов у смислу корена једначине уместо њених коефицијената. Гало је потом умро у дуелу 1832. године, а његов рад, „Мéмоире сур лес цондитионс де рéсолубилитé дес éqуатионс пар радицауx“, остао је необјављен све до 1846. године када га је објавио Жозеф Лиувил уз нека од својих објашњења. Пре ове публикације, Лиувил је објавио Галоове резултате Академији у говору који је одржао 4. јула 1843. године. Према Алану Кларку, Галова карактеризација „драматично превазилази дело Абела и Руфинија.“

Последице

Теорија Галоа је била ноторна тешка његовим савременицима за разумевање, посебно до нивоа на којем би је могли проширити. На пример, у свом коментару из 1846. Лиувил је потпуно промашио теоријско језгро Галовог метода. Жозеф Алфред Серет који је присуствовао неким од Лиувилових говора, укључио је теорију Галоа теорију у свој уџбеник из 1866. (треће издање) Цоурс д'алгèбре супéриеуре. Серетов ученик, Камил Жордан, имао је још боље разумевање што се огледа у његовој књизи Траитé дес субститутионс ет дес éqуатионс алгéбриqуес из 1870. године. Изван Француске, теорија Галоа је остала непозната током дужег периода. У Британији, Кејли није успео да схвати њену дубину, а популарни британски уџбеници алгебре нису ни помињали теорију Галоа све до краја века. У Немачкој, Кронекерови списи су се више фокусирали на Абелов резултат. Дедекинд је мало писао о теорији Галоа, али је 1858. држао предавања о њој у Гетингену, показујући веома добро разумевање. Књиге Еугена Нета из 1880-их, засноване на Јордановој Траитé, учиниле су теорију Галоа доступном широј немачкој и америчкој публици, као и уџбеник алгебре Хајнриха Мартина Вебера из 1895. године.

Литература

• Артин, Емил (1998). Галоис Тхеорy. Довер Публицатионс. ИСБН 0-486-62342-4.  (Репринтинг оф сецонд ревисед едитион оф 1944, Тхе Университy оф Нотре Даме Пресс).
• Беwерсдорфф, Јöрг (2006). Галоис Тхеорy фор Бегиннерс: А Хисторицал Перспецтиве. Америцан Матхематицал Социетy. ИСБН 0-8218-3817-2. дои:10.1090/стмл/035.  .
• Цардано, Героламо (1545). Артис Магнæ (ПДФ) (на језику: Латин). Архивирано из оригинала (ПДФ) 26. 06. 2008. г. Приступљено 01. 03. 2020. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Едwардс, Харолд M. (1984). Галоис Тхеорy. Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-90980-X.  (Галоис' оригинал папер, wитх еxтенсиве бацкгроунд анд цомментарy.)
• Функхоусер, Х. Граy (1930). „А схорт аццоунт оф тхе хисторy оф сyмметриц фунцтионс оф роотс оф еqуатионс”. Америцан Матхематицал Монтхлy. 37 (7): 357—365. ЈСТОР 2299273. дои:10.2307/2299273. 
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Галоис тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Jacobson, Nathan (1985). Basic Algebra I (2nd изд.). W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9.  (Chapter 4 gives an introduction to the field-theoretic approach to Galois theory.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois Theories. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. 
• Lang, Serge (1994). Algebraic Number Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4. 
• Postnikov, M. M. (2004). Foundations of Galois Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0. 
• Rotman, Joseph (1998). Galois Theory (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-98541-7. 
• Völklein, Helmut (1996). Groups as Galois groups: an introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56280-5. 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (на језику: German). Berlin: Springer. CS1 одржавање: Непрепознат језик (веза). English translation (of 2nd revised edition): Modern Algebra. New York: Frederick Ungar. 1949.  (Later republished in English by Springer under the title "Algebra".)
• Brian A. Davey and Hilary A. Priestley: Introduction to lattices and Order, Cambridge University Press, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. (Freely available online in various file formats PS.GZ PS, it presents many examples and results, as well as notes on the different notations and definitions that arose in this area.)
• Mac Lane, Saunders (septembar 1998). Categories for the Working Mathematician (Second изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. 
• Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• Николаос Галатос, Петер Јипсен, Томасз Коwалски, анд Хироакира Оно (2007), Ресидуатед Латтицес. Ан Алгебраиц Глимпсе ат Субструцтурал Логицс, Елсевиер, ISBN 978-0-444-52141-5.
• Garrett Birkhoff: Lattice Theory, Amer. Math. Soc. Coll. Pub., Vol 25, 1940
• Ore, Øystein (1944), „Galois Connexions”, Transactions of the American Mathematical Society, 55: 493—513, doi:10.2307/1990305 
• Grothendieck, A.; et al. (1971). СГА1 Ревêтементс éталес ет гроупе фондаментал, 1960–1961'. Лецтуре Нотес ин Матхематицс 224. СпрингерСпхиwе Верлаг. 
• Јоyал, Андрé; Тиернеy, Мyлес (1984). Ан Еxтенсион оф тхе Галоис Тхеорy оф Гротхендиецк. Мемоирс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy. Проqуест Инфо & Леарнинг. ИСБН 0-8218-2312-4. 
• Борцеуx, Ф. анд Јанелидзе, Г., Цамбридге Университy Пресс (2001). Галоис тхеориес, ISBN 0-521-80309-8 (This book introduces the reader to the Galois theory of Grothendieck, and some generalisations, leading to Galois groupoids.)
• Szamuely, T., Galois Groups and Fundamental Groups, Cambridge University Press, 2009.
• Dubuc, E. J and de la Vega, C. S., On the Galois theory of Grothendieck, https://arxiv.org/abs/math/0009145v1
• Граy, Јеремy (2018). А хисторy оф абстрацт алгебра: фром алгебраиц еqуатионс то модерн алгебра. Спрингер Ундерградуате Матхематицс Сериес. Цхам, Сwитзерланд. ИСБН 978-3-319-94773-0. С2ЦИД 125927783. дои:10.1007/978-3-319-94773-0. 
• Кимберлинг, Цларк (1981). „Еммy Ноетхер анд Хер Инфлуенце”. Ур.: Бреwер, Јамес W; Смитх, Мартха К. Еммy Ноетхер: А Трибуте то Хер Лифе анд Wорк. Марцел Деккер. стр. 3—61. 
• Клеинер, Исраел (2007). Клеинер, Исраел, ур. А хисторy оф абстрацт алгебра. Бостон, Масс.: Биркхäусер. ИСБН 978-0-8176-4685-1. дои:10.1007/978-0-8176-4685-1. 
• Монна, А. Ф. (1975), Дирицхлет'с принципле: А матхематицал цомедy оф еррорс анд итс инфлуенце он тхе девелопмент оф аналyсис, Оостхоек, Сцхелтема & Холкема, ИСБН 978-9031301751 
• Алленбy, Р. Б. Ј. Т. (1991), Рингс, Фиелдс анд Гроупс, Буттерwортх-Хеинеманн, ИСБН 978-0-340-54440-2 
• Артин, Мицхаел (1991), Алгебра, Прентице Халл, ИСБН 978-0-89871-510-1 
• Буррис, Станлеy Н.; Санкаппанавар, Х. П. (1999) [1981], А Цоурсе ин Универсал Алгебра 
• Гилберт, Јиммие; Гилберт, Линда (2005), Елементс оф Модерн Алгебра, Тхомсон Броокс/Цоле, ИСБН 978-0-534-40264-8 
• Ланг, Серге (2002), Алгебра, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 211 (Ревисед тхирд изд.), Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-95385-4, МР 1878556 
• Сетхураман, Б. А. (1996), Рингс, Фиелдс, Вецтор Спацес, анд Гроуп Тхеорy: Ан Интродуцтион то Абстрацт Алгебра виа Геометриц Цонструцтибилитy, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-94848-5 
• Wхитехеад, C. (2002), Гуиде то Абстрацт Алгебра (2нд изд.), Хоундмиллс: Палграве, ИСБН 978-0-333-79447-0 
• W. Кеитх Ницхолсон (2012) Интродуцтион то Абстрацт Алгебра, 4тх едитион, Јохн Wилеy & Сонс ISBN 978-1-118-13535-8 .
• Јохн Р. Дурбин (1992) Модерн Алгебра : ан интродуцтион, Јохн Wилеy & Сонс
• Цхарлес C. Пинтер (1990) [1982] А Боок оф Абстрацт Алгебра, сецонд едитион, фром Университy оф Марyланд

Спољашње везе

• Excerpted from Beachy/Blair, Abstract Algebra, 2nd Ed., 1996 Архивирано на сајту Wayback Machine (11. јул 2007)
• An Introduction to Galois Theory
• Fields and Galois Theory - J.S. Milne
• Online textbooks in French, German, Italian and English