Пређи на садржај

Варијацијски рачун

С Википедије, слободне енциклопедије

Варијацијски рачун је поље математичке анализе која користи варијације, које су мале промене у функцијама и функционалима, како би се пронашли максимуми и минимуми функционала: мапирања из скупа функција у реалне бројеве.[Ноте 1] Функционали се обично изражавају као одређени интеграли који укључују функције и њихове деривате. Функције које максимизирају или минимизирају функционале могу се наћи помоћу Ојлер-Лагранжове једначине варијацијског рачуна.

Једноставан пример таквог проблема је налажење криве најкраће дужине која повезује две тачке. Ако нема ограничења, решење је права линија између тачака. Међутим, ако је крива ограничена да лежи на површини у простору, тада је решење мање очигледно и вероватно може да постоји много решења. Таква решења су позната као геодезијска. Повезани проблем представља Ферматов принцип: светлост прати путању најкраће оптичке дужине која повезује две тачке, при чему оптичка дужина зависи од материјала медијума. Један кореспондирајући концепт у механици је принцип најмање/стационарне акције.

Многи важни проблеми укључују функције неколико променљивих. Решења граничних вредности проблема за Лапласову једначину задовољавају Дирихлетов принцип. Проблем Платоа захтева проналажење површине минималне области која се покрвиа задату контуру у простору: решење се често може наћи утапањем оквира у раствор сапунице. Иако је такве експерименте релативно лако извести, њихова математичка интерпретација је далеко од једноставног: може постојати више од једне локално минимизирајуће површине, и оне могу имати нетривијалну топологију.

Историја

[уреди | уреди извор]

За варијацијски рачун се може рећи да почиње са Њутновим проблемом минималног отпора из 1687. године, чему следи проблем брахистохроне криве који је покренуо Јохан Бернули (1696).[2] То је одмах привукло пажњу Јохана Бернулија и Гијома де Лопитала на ту тему, мада је Леонард Ојлер први разрадио овај предмет, почевши од 1733. године. Лагранж је под утицајем Ојлеровог рада значајно допринео теорији. Након што је Ојлер видео дело 19-годишњег Лагранжа из 1755. године, он је одбацио свој делимично геометријски приступ у корист Лагранжовог чисто аналитичког приступа и преименовао предмет у варијацијски рачун у свом предавању Elementa Calculi Variationum из 1756. године.[3][4][Ноте 2]

Лежандр (1786) је поставио метод, не сасвим задовољавајуће, за дискриминацију максима и минима. Исак Њутн и Готфрид Лајбниц такође су посветили нешто ране пажње овој теми.[5] Овој области су допринели Винченцо Бруцоро (1810), Карл Фридрих Гаус (1829), Симеон Поасон (1831), Михаил Остроградски (1834) и Карл Јакоби (1837). Важан општи допринос је учино Сарус (1842) који је кондезовао и побољшао Кошијев допринос (1844). Остале вредне трактате и мемоаре написали су Страух (1849), Џелет (1850), Ото Хесе (1857), Алфред Клебш (1858) и Карл (1885), али можда је најважније дело века дело написао Вајерштрас. Његов прослављени теоретски курс је био епохалан, те се може тврдити да га је он први поставио на чврст и неупитан темељ. Двадести и 23. Хилбертов проблем из 1900. године подстакли су даљи развој.[5]

У 20. веку значајан допринос дали су Давид Хилберт, Еми Нетер, Леонида Тонели, Анри Лебег и Жак Адамар.[5] Марстон Морс је применио прорачуне варијација на оно што се данас назива Морсова теорија.[6] Лав Понтрјагин, Ралф Рокафелер и Ф. Х. Кларк развили су нове математичке алате за рачунање варијација у оптималној теорији управљања.[6] Динамично програмирање Ричарда Белмана је алтернатива варијацијском рачуну.[7][8][9][Ноте 3]

Екстреми

[уреди | уреди извор]

Варијацијски рачун се бави максимумима или минимумима (колективно званим екстреми) функционалности. Функционал мапира функције у скаларе, те су функционали описани као „функције функција”. Функционали имају екстреме у односу на елементе y датог функцијског простора дефинисаног у датом домену. Каже се да функционал Ј [ y ] има екстрем у функцији ф  ако ΔЈ = Ј [ y ] − Ј [ ф] има исти знак за свако y у произвољно малом суседству ф.[Ноте 4] Функција ф се назива екстремна функција или екстремал.[Ноте 5] Екстрем Ј [ ф ] се назива локални максимум ако је ΔЈ ≤ 0 свуда у произвољно малом суседству од ф , и локални минимум ако је ΔЈ ≥ 0 тамо. За функционални простор непрекидних функција, екстреми кореспондирајућих функционала се називају слабим екстремима или јаким екстремима, зависно од тога да ли су први деривати континуираних функција респективно сви континуирани или не.[11]

Обе форме, јаки и слаби екстреми функционала су за простор континуираних функција, али слаби екстреми имају додатни услов да први деривати функција у простору буду континуирани. Стога, јак екстрем је такође слаб екстрем, али обрнуто можда не важи. Налажење јаког екстрема је теже него налажење слабог екстрема.[12] Пример неопходног услова који се користи за проналажење слабог екстра је Ојлер-Лагранжова једначина.[13][Ноте 6]

Напомене

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Док се елементарни рачун односи на инфинитезималано мале промене вредности функција без промена у самој функцији, варијацијски рачун се концентрише на инфинитезималано малим променама у самој функцији, које се називају варијацијама.[1]
  2. ^ „Ојлер је сачекао док Лагранж није објавио рад о овој теми 1762. године ... пре него што дао своје предавање ... за штампу, како не би узео Лагранжове заслуге. Заиста, Ојлер је варијацијски рачун називао Лагранжовим методом.”[3]
  3. ^ Погледајте 2004: Харолд Ј. Кусхнер: регардинг Дyнамиц Программинг, "Тхе цалцулус оф вариатионс хад релатед идеас (е.г., тхе wорк оф Царатхеодорy, тхе Хамилтон-Јацоби еqуатион). Тхис лед то цонфлицтс wитх тхе цалцулус оф вариатионс цоммунитy."
  4. ^ Суседство од ф је део датог функционог простора где је | y − ф| < х над целим доменом функција, са х као позитивним бројем који специфицира величину суседства.[10]
  5. ^ Обратите пажњу на разлику између појмова екстремал и екстрем. Екстремал је функција која чини функционал екстремом.
  6. ^ За довољан услов, погледајте одељак Варијације и довољни услов за минимум.

Референце

[уреди | уреди извор]
  1. ^ Цоурант & Хилберт 1953, стр. 184
  2. ^ Гелфанд, I. M.; Фомин, С. V. (2000). Силверман, Рицхард А., ур. Цалцулус оф вариатионс (Унабридгед репр. изд.). Минеола, Неw Yорк: Довер Публицатионс. стр. 3. ИСБН 978-0486414485. 
  3. ^ а б Тхиеле, Рüдигер (2007). „Еулер анд тхе Цалцулус оф Вариатионс”. Ур.: Брадлеy, Роберт Е.; Сандифер, C. Едwард. Леонхард Еулер: Лифе, Wорк анд Легацy. Елсевиер. стр. 249. ИСБН 9780080471297. 
  4. ^ Голдстине, Херман Х. (2012). А Хисторy оф тхе Цалцулус оф Вариатионс фром тхе 17тх тхроугх тхе 19тх Центурy. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. стр. 110. ИСБН 9781461381068. 
  5. ^ а б в ван Брунт, Бруце (2004). Тхе Цалцулус оф Вариатионс. Спрингер. ИСБН 978-0-387-40247-5. 
  6. ^ а б Фергусон, Јамес (2004). „Бриеф Сурвеy оф тхе Хисторy оф тхе Цалцулус оф Вариатионс анд итс Апплицатионс”. арXив:матх/0402357 Слободан приступ. 
  7. ^ Димитри Бертсекас. Дyнамиц программинг анд оптимал цонтрол. Атхена Сциентифиц, 2005.
  8. ^ Беллман, Рицхард Е. (1954). „Дyнамиц Программинг анд а неw формалисм ин тхе цалцулус оф вариатионс”. Проц. Натл. Ацад. Сци. 40 (4): 231—235. Бибцоде:1954ПНАС...40..231Б. ПМЦ 527981 Слободан приступ. ПМИД 16589462. дои:10.1073/пнас.40.4.231. 
  9. ^ „Рицхард Е. Беллман Цонтрол Херитаге Аwард”. Америцан Аутоматиц Цонтрол Цоунцил. 2004. Архивирано из оригинала 01. 10. 2018. г. Приступљено 2013-07-28. 
  10. ^ Цоурант, Р; Хилберт, D (1953). Метходс оф Матхематицал Пхyсицс. Вол. I (Фирст Енглисх изд.). Неw Yорк: Интерсциенце Публисхерс, Инц. стр. 169. ИСБН 978-0471504474. 
  11. ^ Гелфанд & Фомин 2000, стр. 12–13
  12. ^ Гелфанд & Фомин 2000, стр. 13
  13. ^ Гелфанд & Фомин 2000, стр. 14–15

Литература

[уреди | уреди извор]

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]
Варијацијски рачун на Викимедијиној остави.
Преузето из „https://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=Varijacijski_račun&oldid=28526075”