Векторски производ

У математици, векторски производ је бинарна операција на два вектора у тродимензионалном Еуклидовом простору која резултира другим вектором који је ортогоналан на раван која садржи два почетна вектора. Алгебра дефинисана векторским производом није асоцијативна, нити комутативна. У супротности је са скаларним производом који даје скаларни резултат. У многим инжењерским и физичким проблемима, неопходно је да се конструише нормални вектор полазећи од два постојећа вектора, што омогућава векторски производ. Векторски производ познат је и под називом Гибсов векторски производ.

Векторски производ је дефинисан у три, и у седам димензија. Као и скаларни производ, зависи од метрике Еуклидовог простора. За разлику од скаларног производа, он такође зависи од одабира оријентације. Одређена обележја векторског производа могу се уопштити на остале ситације. За произвољан одабир оријентације, векторски производ се не треба сматрати вектором, него псеудовектором. За произвољне одабире метрике, те у произвољним димензијама, векторски производ може се уопштити преко спољашњег производа вектора.

Илустрација векторског производа преко координатног система оријентисаног према десној руци.

Дефиниција

Одређивање правца векторског производа помоћу правила десне шаке.

Векторски производ два вектора a и b има ознаку a × b. У физици, понекад се означава као a ∧ b (математичари не користе ову ознаку, како би се избегла забуна са спољашњим производом).

У тродимензионалном Еуклидовом простору, са координатим системом оријентисаним према десној руци, a × b је дефинисан као вектор c који је нормалан на оба вектора a и b, са правцем одређеним преко правилом десне шаке, а интензитетом једнаким површини паралелограма којег вектори a и b чине.

Векторски производ је дефинисан преко формуле

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =ab\sin \theta \ \mathbf {\hat {n}}$

где је θ мера мањег угла између a и b (0° ≤ θ ≤ 180°), a и b су интензитети вектора a и b, а $\mathbf {\hat {n}}$ је јединични вектор ортогоналан на раван која садржи a и b. Ако су вектори a и b колинеарни (ако је угао θ између њих 0° или 180°), преко горње формуле, векторски производ вектора a и b је нулти вектор 0.

Правац вектора $\mathbf {\hat {n}}$ је дат преко правила десне шаке, где кажипрст показује правац првог вектора a, а средњи прост показује правац вектора b. Тада, вектор $\mathbf {\hat {n}}$ излази из палца (погледајте слику десно). Из овог правила се види да је векторски производ антикомутативан, тј., b × a = - (a × b). Ако се прво усмери кажипрст у правцу вектора b, а затим се усмери средњи прст у правцу вектора a, палац ће бити окренут у супротном правцу, мењајући знак производа вектора.

Израчунавање векторског производа

Координатне ознаке

Јединични вектори i, j и k из датог ортогоналног координатног система задовољавају следеће једнакости:

i × j = k           j × k = i           k × i = j

Заједно са антисиметричности и билинеарности векторског производа, ова три идентитета су довољна како би се одредио векторски производ било која два вектора. Такођер, слиједећи идентитети, такође, важе

j × i = −k           k × j = −i           i × k = −j

i × i = j × j = k × k = 0.

Са овим правилима, координате векторског производа два вектора могу се лако израчунати, без одређивања икаквих углова: Нека је

a = a₁i + a₂j + a₃k = (a₁, a₂, a₃)

и

b = b₁i + b₂j + b₃k = (b₁, b₂, b₃).

Векторски производ може се израчунати преко дистрибутивног векторског множења:

a × b = (a₁i + a₂j + a₃k) × (b₁i + b₂j + b₃k)

a × b = a₁i × (b₁i + b₂j + b₃k) + a₂j × (b₁i + b₂j + b₃k) + a₃k × (b₁i + b₂j + b₃k)

a × b = (a₁i × b₁i) + (a₁i × b₂j) + (a₁i × b₃k) + (a₂j × b₁i) + (a₂j × b₂j) + (a₂j × b₃k) + (a₃k × b₁i) + (a₃k × b₂j) + (a₃k × b₃k).

Пошто је скаларно множење комутативно са векторским множењем, десна страна може се регруписати као

a × b = a₁b₁(i × i) + a₁b₂(i × j) + a₁b₃(i × k) + a₂b₁(j × i) + a₂b₂(j × j) + a₂b₃(j × k) + a₃b₁(k × i) + a₃b₂(k × j) + a₃b₃(k × k).

Ова једначина је сума девет једноставних векторских производа. Након што се све измножи кориштећи основне релације векторског производа између јединичних вектора i, j и k, дефинисаних изнад,

a × b = a₁b₁(0) + a₁b₂(k) + a₁b₃(−j) + a₂b₁(−k) + a₂b₂(0) + a₂b₃(i) + a₃b₁(j) + a₃b₂(−i) + a₃b₃(0).

Ова једначина може се факторисана у облик

a × b = (a₂b₃ − a₃b₂) i + (a₃b₁ − a₁b₃) j + (a₁b₂ − a₂b₁) k = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁).

Особине

Геометријско значење

Слика 1: Површина паралелограма као векторски производ.

Слика 2: Запремина паралелопипеда добија се мешовитим производом (комбинација векторског и скаларног производа) три вектора; испрекидане линије показују пројекцију c на a × b, те пројекцију b × c на a, први корак у рачунању скаларног производа.

Интензитет векторског производа може се интерпретирати као позитивна површина паралелограма са a и b као његовим страницама (погледајте Слику 1):

$A=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \theta .\,\!$

Такође, могуће је израчунати запремину V паралелепипеда, који има векторе a, b и c као своје странице, кориштењем комбинације векторског и скаларног производа, који се назива мешовити производ (погледајте Слику 2):

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$

Слика 2 показује да се ова запремина може израчунати на два начина, показујући геометријски да овај идентитет важи и када се редослед операција промени. То јест, вреди да је:

$V=\mathbf {a\times b\cdot c} =\mathbf {a\cdot b\times c} \ .$

Алгебарске особине

Векторски производ је антикомутативан,

a × b = −b × a,

дистрибутиван код сабирања,

a × (b + c) = (a × b) + (a × c),

и компатибилан са скаларним множењем, тако да је

(r a) × b = a × (r b) = r (a × b).

Није асоцијативан, али задовољава Јакобијев идентитет:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Векторски производ не подлеже особини поништавања:

Ако је a × b = a × c i a ≠ 0, тада је:

(a × b) − (a × c) = 0 и, по закону дистрибуције изнад:

a × (b − c) = 0

Сад, ако је a паралелан са (b − c), тада, чак и ако је a ≠ 0, могуће је да је (b − c) ≠ 0, те се добија да је b ≠ c.

Међутим, ако су и a · b = a · c и a × b = a × c, тада се може закључити да је b = c. Уистину,

a . (b - c) = 0, и

a × (b - c) = 0

тако да је b - c и паралелно и нормално на ненулти вектор a. Ово је једино могуће ако је b - c = 0.

Дистрибутивност, линеарност и Јакобијев идентитет показују да R³ заједно са сабирањем вектора и векторским производом формира Лијеову алгебру.

Два вектора a анд b, различита од нуле, су паралелна ако и само ако је a × b = 0.

Види још

• Мештовити производи – производи са три вектора.
• Вишеструки векторски производ – производи више од три вектора.
• Скаларни производ
• Декартов производ – производ два скупа.
• Множење

Литература

• Јеффреyс, Х; Јеффреyс, БС (1999). Метходс оф матхематицал пхyсицс. Параграпх 2.7. Цамбридге Университy Пресс. 
• Зилл, Деннис Г.; Цуллен, Мицхаел Р. (2006). „Дефинитион 7.4: Цросс продуцт оф тwо вецторс”. Адванцед енгинееринг матхематицс (3рд изд.). Јонес & Бартлетт Леарнинг. ИСБН 978-0-7637-4591-2. 
• Цајори, Флориан (1929), А Хисторy Оф Матхематицал Нотатионс Волуме II, Опен Цоурт Публисхинг, стр.  134, ИСБН 978-0-486-67766-8 
• Wилсон, Едwин Бидwелл (1901), Вецтор Аналyсис: А теxт-боок фор тхе усе оф студентс оф матхематицс анд пхyсицс, фоундед упон тхе лецтурес оф Ј. Wиллард Гиббс, Yале Университy Пресс 
• Е. А. Милне (1948) Вецториал Мецханицс, Цхаптер 2: Вецтор Продуцт, пп. 11 –31, Лондон: Метхуен Публисхинг.
• Т. Леви-Цивита; У. Амалди (1949). Лезиони ди меццаница разионале (на језику: Италиан). Бологна: Заницхелли едиторе. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза)
• Лоунесто, Пертти (2001). Цлиффорд алгебрас анд спинорс (2нд изд.). Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-00551-7. 
• Wеисстеин, Ериц W. (2003). „Бинет-Цауцхy идентитy”. ЦРЦ цонцисе енцyцлопедиа оф матхематицс (2нд изд.). ЦРЦ Пресс. стр. 228. ИСБН 978-1-58488-347-0. 
• Лиу, Схуангзхе; Тренклер, Гõтз (2008). „Хадамард, Кхатри-Рао, Кронецкер анд отхер матриx продуцтс” (ПДФ). Инт Ј Информатион анд сyстемс сциенцес. Институте фор сциентифиц цомпутинг анд едуцатион. 4 (1): 160—177. Архивирано из оригинала (ПДФ) 06. 11. 2015. г. Приступљено 19. 04. 2019. 
• Лоунесто, Пертти (2001). Цлиффорд алгебрас анд спинорс. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. стр. 193. ИСБН 978-0-521-00551-7. 

Спољашње везе

• Wеисстеин, Ериц W. „Векторски производ”. МатхWорлд. 
• З.К. Силагадзе (2002). Мулти-дименсионал вецтор продуцт. Јоурнал оф Пхyсицс. А35, 4949 Архивирано на сајту Wayback Machine (5. септембар 2015) (ит ис онлy поссибле ин 7-D спаце)
• Реал анд Цомплеx Продуцтс оф Цомплеx Нумберс
• Ан интерацтиве туториал цреатед ат Сyрацусе Университy - (реqуирес јава)
• W. Кахан (2007). Цросс-Продуцтс анд Ротатионс ин Еуцлидеан 2- анд 3-Спаце. Университy оф Цалифорниа, Беркелеy (ПДФ).
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Цросс продуцт”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• A quick geometrical derivation and interpretation of cross products
• Gonano, Carlo Andrea; Zich, Riccardo Enrico (21. 7. 2014). „Cross product in N Dimensions – the doublewedge product”. arXiv:1408.5799  [math.GM].  Polytechnic University of Milan, Italy.
• Silagadze, Zurab K. (30. 4. 2002). „Multi-dimensional vector product”. Journal of Physics A: Mathematical and General. 35: 4949—4953. Bibcode:2002JPhA...35.4949S. arXiv:math/0204357 . doi:10.1088/0305-4470/35/23/310.  (it is only possible in 7-D space)