Granična vrednost funkcije

x	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0,841471
0,8	0,896695
0,6	0,941071
0,2	0,993347
0,04	0,999733
0,002	0,999999

Iako funkcija (sin x)/x nije definisana za x = 0, kako vrednost x teži nuli vrednost funkcije postaje proizvoljno blizu jedinice mada je nikada ne dostiže. Kaže se da je 1 granična vrednost ove funkcije kada x teži nuli.

Granična vrednost funkcije (limes funkcije) je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize koji se tiče ponašanja funkcije u okolini neke vrednosti nezavisne promenljive. Pomoću granične vrednosti funkcije definišu se pojmovi neprekidnosti, izvoda i određenog integrala. Pored toga značaj granične vrednosti se ogleda u tome što je pomoću nje moguće analizirati ponašanje i vrednost funkcije u okolini neke tačke čak i kada funkcija u samoj toj tački nije definisana.

Neformalno rečeno, funkcija ima graničnu vrednost L u tački p kada je vrednost funkcije „blizu“ L kad god je vrednost nezavisne promenljive „blizu“ p. Drugim rečima, kada se funkcija primeni na vrednost dovoljno blizu vrednosti p, rezultat je proizvoljno blizu vrednosti L. Ukoliko se vrednosti funkcije za tačke u okolini p veoma razlikuju (ako se ne „stabilizuju“ oko neke određene vrednosti) kaže se da funkcija nema graničnu vrednost.

Iako je ideja o graničnoj vrednosti postojala još od antičkog vremena, uglavnom u formi geometrijske intuicije, prvu modernu formulaciju granične vrednosti funkcije je dao Bolcano u radovima iz 1816. i 1817, ali su oni postali šire poznati tek nakon njegove smrti. Koši je prvi koristio granične vrednosti u dokazima u svojoj knjizi iz 1821, međutim kako je on dao samo verbalnu definiciju limesa, formalna definicija, u „epsilon-delta“ formi, se obično pripisuje Vajerštrasu.

Definicija

Neka je f funkcija realne promenljive sa vrednostima u skupu realnih brojeva i neka je tačka a iz proširenog skupa realnih brojeva (skup realnih brojeva koji uključuje negativnu i pozitivnu beskonačnost) tačka nagomilavanja nekog podskupa realnih brojeva A, a b takođe tačka iz proširenog skupa realnih brojeva. Tačka b je granična vrednost funkcije f u tački a (tj. kada argument funkcije teži vrednosti a), što se označava kao

$\lim _{x\to a}f(x)=b,$

ako za svaku okolinu V(b) tačke b postoji okolina U(a) tačke a takva da se vrednost funkcije za svaku tačku iz U(a) nalazi u V(b).

Kada x teži a, za proizvoljno izabranu ε-okolinu tačke b mora postojati δ-okolina tačke a za čije elemente vrednost funkcije pripada ε-okolini.

Pošto funkcija ne mora biti definisana u samoj tački a, a granična vrednost ne zavisi od vrednosti funkcije u toj tački, izneta definicija se formalno može izraziti kao

$\lim _{x\to a}f(x)=b\Longleftrightarrow {\big (}\forall V(b){\big )}{\big (}\exists U(a){\big )}\,f{\big (}{\overset {\circ }{U}}(a){\big )}\subset V(b),$

gde je ${\overset {\circ }{U}}(a)$ okolina koja ne sadrži samu tačku a.

Da bi se data definicija izrazila na operativniji način (koji se može direktno koristiti u dokazivanju određene granične vrednosti) moraju se odvojeno posmatrati slučajevi kada su a i/ili b konačne, odnosno beskonačne vrednosti. Kada su obe vrednosti konačne važi:

$\lim _{x\to a}f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ).$

Suština iznete definicije je u sledećem: ako je data proizvoljna vrednost ε, kojom može da se izrazi okolina V(b) preko navedene nejednakosti, da bi b bila granična vrednost funkcije kada x teži a, mora postojati jedna određena vrednost δ kojom se može izraziti okolina U(a) preko odgovarajuće nejednakosti. Ovakva definicija granične vrednosti se pripisuje Vajerštrasu i naziva se „epsilon-delta“ definicijom (ili definicijom „na jeziku okolina“).

Granična vrednost je L kada x teži pozitivnoj beskonačnosti: kada je x veće od s, vrednost funkcije je uvek u ε-okolini tačke L.

U slučaju kada x teži (pozitivnoj ili negativnoj) beskonačnosti, a granična vrednost je konačna važi

$\lim _{x\to +\infty }f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists s>0)(\forall x\in A)(x>s\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ),$

odnosno

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=b\Longleftrightarrow (\forall \varepsilon >0)(\exists s<0)(\forall x\in A)(x<s\Rightarrow |f(x)-b|<\varepsilon ).$

U slučaju kada je granična vrednost beskonačna za konačnu vrednost nezavisne promenljive definicija glasi

$\lim _{x\to a}f(x)=+\infty \Longleftrightarrow (\forall s>0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>s),$

odnosno

$\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Longleftrightarrow (\forall s<0)(\exists \delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)<s).$

Neka je data funkcija $\alpha :A\to \mathbb {R}$ i ako je $\textstyle \lim _{x\to a}\alpha (x)=0.$ Funkcija α se naziva beskonačno malom kada x teži a.

Levi i desni limes

Levi i desni limes: kako x teži vrednosti x₀ sa različitih strana leva i desna granična vrednost funkcije u tački x₀ se razlikuju, pa iako oba jednostrana limesa postoje, funkcija nema graničnu vrednost u toj tački.

Često se dešava da funkcija ima graničnu vrednost samo sa jedne strane tačke nagomilavanja a. Ako je dat skup $\mathbb {R} _{a}^{+}\cap A=\{x\in A\mid x>a\}$ i funkcija $f:A\to \mathbb {R} ,$ granična vrednost (ukoliko postoji)

$\lim _{\mathbb {R} _{a}^{+}\cap A\ni x\to a}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a+0}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a^{+}}f(x)$

naziva se desnom graničnom vrednošću funkcije f u tački a. Ako je a = 0, zapisuje se $\textstyle \lim _{x\to +0}f(x)$ ili $\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x).$

Analogno, za skup $\mathbb {R} _{a}^{-}\cap A=\{x\in A\mid x<a\},$ definiše se leva granična vrednost sa analognom oznakom

$\lim _{\mathbb {R} _{a}^{-}\cap A\ni x\to a}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a-0}f(x)\;{\overset {\text{def}}{=}}\lim _{x\to a^{-}}f(x).$

Limes funkcije postoji ako i samo ako su levi i desni limes jednaki (pod uslovom da je domen funkcije takav da ima smisla govoriti o jednostranim limesima).

Definicija pomoću nizova

Uslov za egzistenciju granične vrednosti funkcije može se definisati i preko granične vrednosti niza. Time se dobija alternativna definicija granične vrednosti funkcije koja je ekvivalentna prethodnoj, „epsilon-delta“ definiciji.

Granična vrednost realne funkcije $f:A\to \mathbb {R}$ u tački a iz proširenog skupa realnih brojeva, jednaka je vrednosti b takođe iz proširenog skupa realnih brojeva ako i samo ako za svaki niz (x_n), takav da je

$x_{n}\in A\setminus \{a\}(n\in \mathbb {N} ),\quad \lim _{n\to \infty }x_{n}=a,$

važi

$\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=b.$

Vidi još

• Lopitalovo pravilo
• Granična vrednost niza
• Asimptotska složenost

Literatura

• Adnađević, Dušan (2008). Matematička analiza I (8. izmenjeno izd.). Beograd: Matematički fakultet. ISBN 978-86-7589-067-6. COBISS.SR 145997068. 
• Boyer, Carl Benjamin (1959). The History of the Calculus And Its Conceptual Development (na jeziku: (jezik: engleski)). New York: Dover Publications. CS1 održavanje: Neprepoznat jezik (veza)

Spoljašnje veze

• Limit, The Online Encyclopaedia of Mathematics (jezik: engleski)
• Introduction to Limits, video na Kan akademiji (jezik: engleski)
• The Limit of a Function Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. jun 2010), java aplet za ispitivanje granične vrednosti (jezik: engleski)
• Limits of Functions, objašnjenja i vežbe (sadrži java aplete za ispitivanje limesa) (jezik: engleski)