Injektivno preslikavanje

U matematici, injektivno preslikavanje ili injektivna funkcija je funkcija koja različite argumente preslikava u različite vrednosti. Preciznije rečeno, za funkciju f se kaže da je injektivna ako preslikava svako različito x iz svog domena u različito y iz svog kodomena, tako da f(x) = y.

Drugim rečima, f je injektivna ako f(a) = f(b) implicira a = b (ili a ≠ b implicira f(a) ≠ f(b)), za svako a, b unutar domena.

Injektivna funkcija se naziva injekcijom (nepravilno injekcijom, inekcijom), ili 1-1 (jedan-jedan) funkcijom, i kaže se da ona čuva informacije

Primeri i kontraprimeri

Za svaki skup X, funkcija identiteta na X je injekcija.
Funkcija f : R → R definisana kao f(x) = 2x + 1 je injekcija.
Funkcija g : R → R definisana kao g(x) = x² nije injektivna, jer (na primer) g(1) = 1 = g(−1). Međutim, ako se g redefiniše tako da njen domen bude skup nenegativnih realnih brojeva [0,+∞), tada je g injekcija.
Eksponencijalna funkcija $\exp :\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}$ je injekcija.
Prirodni logaritam $\ln :(0,+\infty )\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}$ je injektivna funkcija.
Funkcija g : R → R definisana kao $g(x)=x^{3}-x$ nije injektivna, jer na primer, g(0) = g(1).

Opštije rečeno, kada su X i Y skupovi realnih brojeva, R, tada je injektivna ona funkcija f : R → R čiji grafik nijedna horizontalna prava ne preseca više od jedanput.

Injekcije su invertibilne

Još jedna definicija injektivne funkcije je da je to funkcija čiji efekat može da se poništi. Preciznije, f : X → Y je injektivna ako postoji funkcija g : Y → X, takva da g(f(x)) = x za svako x iz ´ X; to jest, g o f je jednako funkciji identiteta na X.

Treba imati u vidu da g ne mora biti kompletni inverz od f, jer kompozicija u drugom redosledu, f o g, ne mora biti funkcija identiteta na Y.

Da bi se injektivna funkcija f : X → Y pretvorila u bijektivnu (i stoga invertibilnu) funkciju, dovoljno je da se njen kodomen Y zameni njenim opsegom J = f(X). To jest, neka je g : X → J takvo da g(x) = f(x) za svako x iz X; tada je g bijekcija. Zaista, f može viti faktorisana kao incl_J,Yog, gde je incl_J,Y inkluziona funkcija iz J u Y.

Ostala svojstva

Ako su f i g injektivne, tada je i f o g injekcija.

Ako je g o f injekcija, tada je i f injekcija (ali g ne mora da bude).
f : X → Y je injekcija ako i samo ako za bilo koje funkcije g, h : W → X, kad god je f o g = f o h, tada g = h.
Ako je f : X → Y injekcija, i A je podskup od X, tada je f⁻¹(f(A)) = A. Stoga A može da se dobije nazad iz svoje slike f(A).
Ako je f : X → Y injekcija, i A i B su podskupi X, tada je f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
Svaka funkcija h : W → Y može da se dekomponuje u h = f o g za odgovarajuću injekciju f i surjekciju g. Ova dekompozicija je jedinstvena do na izomorfizam, i f se može posmatrati kao inkluziona funkcija opsega h(W) od h kao podskupa kodomena Y od h.
Ako je f : X → Y injektivna funkcija, tada Y ima najmanje onoliko elemenata koliko ima X, u smislu kardinalnosti.
Ako su X i Y konačni skupovi sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y injekcija ako i samo ako je f surjekcija.

Vidi još