Konstruktibilni univerzum

Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo pročitati članak Teorija skupova kontinuuma, te članke koji mu prethode.

U CF teoriji pojam skupa nije definisan već predstavlja osnovni koncept. Ovo za posledicu ima da neka pitanja u CF teoriji ne mogu biti odgovorena.

CF aksiome opisuju svojstva skupova i teorijski univerzum skupova. Na primer, ako je $X$ neki beskonačni skup aksioma partitivnog skupa kaže da postoji skup $P(X)$ koji čine svi podskupovi skupa $X$. Ostale CF aksiome nam ne kažu mnogo o elementima posdkupovima skupa $P(X)$ niti nam kažu išta o veličini ovog skupa. Aksioma sveobuhvatnosti kaže da se $P(X)$ sastoji od skupova koji se, na neki dobro definisan način, mogu opisati. Aksioma izbora obezbeđuje različite skupove izbora i dobru uređenost. Reč "svi" u frazi "svi podskupovi skupa" $X$ nije ni na koji način objašnjena. Sve dok pojam $P(X)$ kako je definisan nije upitan, CF teorija skupova je potpuno smislena. Ali tu je glavni nedostatak CFI teorije skupova: postoji nekoliko pitanja koja se lako mogu postaviti a koja ne mogu biti odgovorena ako se koriste samo CFI aksiome. Klasičan primer jednog takvog pitanja je status hipoteze kontinuuma $2^{\omega }=\omega _{1}$. Može se tvrditi da o ovoj jednakosti se ne može ništa reći u CFI pošto CFI aksiome ništa ne kažu šta čini posdkup skupa $\omega$. Time se ne može povezati veličina $P(X)$ skupa sa beskonačnim kardinalnim brojem $\omega _{1}$.

Da bi se prevazišla ova teškoća, došlo se do ideje da se CFI proširi tako što bi se dalo više informacije o skupu. Jedna od uspešnih realizacija ove ideje je Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma.

Gedelovova teorija konstruktibilnog univerzuma

Gedelov kostruktibilni univerzum $L$ se definiše transfinitnom rekurzijom:

$L_{0}=0;$

$L_{\alpha +1}=D(L_{\alpha });$

$L_{\alpha }=\bigcup _{\beta \in \alpha }L_{\beta }$, u slučaju kada je α granični ordinal.

Posebno,

$x\in L{\iff }_{def}\exists \alpha (x\in L_{\alpha })$.

pri čemu je:

$D(x)=P(x)\bigcap gcl(x\bigcup \{x\})$ a $gcl(X)$ Gedelova operacija zatvorenja za proizvoljan skup $X$

$gcl_{0}(X)=X$

$gcl_{n+1}=gcl_{n}(X)\bigcup \bigcup _{i=1}^{4}\{G_{i}(x,y)|x,y\in gcl_{n}(X)\}\bigcup \bigcup _{i=5}^{9}\{G_{i}(x)|x\in gcl_{n}(X)\}$

$gcl(X)=\bigcup _{n\in \omega }gcl_{n}(X)$

$G_{1}(x,y)=\{x,y\}$

$G_{2}(x,y)=x\times y$

$G_{3}(x,y)=\{z|(\exists u\in x)(\exists v\in y)(u\in v\land z=\langle u,v\rangle )\}$

$G_{4}(x,y)=x\backslash y$

$G_{5}(x)=\bigcup x$

$G_{6}(x)=dom(x)$

$G_{7}(x)=\{\langle u,v\rangle |\langle v,u\rangle \in x\}$

$G_{8}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle u,w,v\rangle \in x\}$

$G_{9}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle v,w,u\rangle \in x\}$

Funkcija :$y=dom(x)$ je ekvivalentna konjunkciji sledeće dve formule:

(a) $(\forall u\in y)(\exists v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup (\langle u,v\rangle \in x)$

(b) $(\forall u,v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup x)(\langle u,v\rangle \in x\Rightarrow u\in y)$

U gornjem kontekstu je $\sideset {}{^{2}}\bigcup x=\bigcup \bigcup x$.

Gedel je pokazao da $L$ zadovoljava sve CFI aksiome a time i CF. Na taj način $L$ zadovoljava uopštenu hipotezu kontinuuma (UHK) tj. $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$, za svaki ordinal $\alpha$ .

Tvrdnja $V=L$, gde je $V$ univerzum svih skupova, se zove aksioma konstruktibilnosti (AK) koja tvrdi da svaki skup pripada $L$, koja je time saglasna sa CFI i iz koje (AK) se daju izvesti AI i UHK.

Prava klasa $L$, zajedno sa $\in$ relacijom ograničenom samo na $L$, je unutrašnji model CFI tj. neka tranzitivna (tj. koja sadrži sve elemente sopstvenih elemenata) klasa koja sadrži sve ordinale i zadovoljava sve CFI aksiome. Prava klasa je, na taj način, najmanji unutrašnji CFI model, pošto svaki drugi unutrašnji model sadrži pravu klasu.

Za bilo koji skup $A$ može se konstruisati najmanji CF tranzitivni model koji sadrži $A$ i sve ordinale na sličan način kao i $L$, ali gde se počinje sa tranzitivnim zatvaranjem $A$, tj. najmanji tranzitivni skup koji sadrži $A$ umesto $\emptyset$. Rezultujući model $L(A)$ nije nužno AI model. Jedan vrlo značajan AI model je $L(R)$, najmanji CF tranzitivni model koji sadrži sve ordinale i sve realne brojeve.

Literatura

• Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
• Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007