Конструктибилни универзум

Да би се могао у потпуности разумети овај чланак, потребно је прво прочитати чланак Теорија скупова континуума, те чланке који му претходе.

У ЦФ теорији појам скупа није дефинисан већ представља основни концепт. Ово за последицу има да нека питања у ЦФ теорији не могу бити одговорена.

ЦФ аксиоме описују својства скупова и теоријски универзум скупова. На пример, ако је $X$ неки бесконачни скуп аксиома партитивног скупа каже да постоји скуп $P(X)$ који чине сви подскупови скупа $X$. Остале ЦФ аксиоме нам не кажу много о елементима посдкуповима скупа $P(X)$ нити нам кажу ишта о величини овог скупа. Аксиома свеобухватности каже да се $P(X)$ састоји од скупова који се, на неки добро дефинисан начин, могу описати. Аксиома избора обезбеђује различите скупове избора и добру уређеност. Реч "сви" у фрази "сви подскупови скупа" $X$ није ни на који начин објашњена. Све док појам $P(X)$ како је дефинисан није упитан, ЦФ теорија скупова је потпуно смислена. Али ту је главни недостатак ЦФИ теорије скупова: постоји неколико питања која се лако могу поставити а која не могу бити одговорена ако се користе само ЦФИ аксиоме. Класичан пример једног таквог питања је статус хипотезе континуума $2^{\omega }=\omega _{1}$. Може се тврдити да о овој једнакости се не може ништа рећи у ЦФИ пошто ЦФИ аксиоме ништа не кажу шта чини посдкуп скупа $\omega$. Тиме се не може повезати величина $P(X)$ скупа са бесконачним кардиналним бројем $\omega _{1}$.

Да би се превазишла ова тешкоћа, дошло се до идеје да се ЦФИ прошири тако што би се дало више информације о скупу. Једна од успешних реализација ове идеје је Геделовова теорија конструктибилног универзума.

Геделовова теорија конструктибилног универзума

Геделов коструктибилни универзум $L$ се дефинише трансфинитном рекурзијом:

$L_{0}=0;$

$L_{\alpha +1}=D(L_{\alpha });$

$L_{\alpha }=\bigcup _{\beta \in \alpha }L_{\beta }$, у случају када је α гранични ординал.

Posebno,

$x\in L{\iff }_{def}\exists \alpha (x\in L_{\alpha })$.

при чему је:

$D(x)=P(x)\bigcap gcl(x\bigcup \{x\})$ а $gcl(X)$ Геделова операција затворења за произвољан скуп $X$

$gcl_{0}(X)=X$

$gcl_{n+1}=gcl_{n}(X)\bigcup \bigcup _{i=1}^{4}\{G_{i}(x,y)|x,y\in gcl_{n}(X)\}\bigcup \bigcup _{i=5}^{9}\{G_{i}(x)|x\in gcl_{n}(X)\}$

$gcl(X)=\bigcup _{n\in \omega }gcl_{n}(X)$

$G_{1}(x,y)=\{x,y\}$

$G_{2}(x,y)=x\times y$

$G_{3}(x,y)=\{z|(\exists u\in x)(\exists v\in y)(u\in v\land z=\langle u,v\rangle )\}$

$G_{4}(x,y)=x\backslash y$

$G_{5}(x)=\bigcup x$

$G_{6}(x)=dom(x)$

$G_{7}(x)=\{\langle u,v\rangle |\langle v,u\rangle \in x\}$

$G_{8}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle u,w,v\rangle \in x\}$

$G_{9}(x)=\{\langle u,v,w\rangle |\langle v,w,u\rangle \in x\}$

Функција :$y=dom(x)$ је еквивалентна конјункцији следеће две формуле:

(a) $(\forall u\in y)(\exists v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup (\langle u,v\rangle \in x)$

(b) $(\forall u,v\in \sideset {}{^{2}}\bigcup x)(\langle u,v\rangle \in x\Rightarrow u\in y)$

У горњем контексту је $\sideset {}{^{2}}\bigcup x=\bigcup \bigcup x$.

Гедел је показао да $L$ задовољава све ЦФИ аксиоме а тиме и ЦФ. На тај начин $L$ задовољава уопштену хипотезу континуума (УХК) тј. $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$, за сваки ординал $\alpha$ .

Тврдња $V=L$, где је $V$ универзум свих скупова, се зове аксиома конструктибилности (АК) која тврди да сваки скуп припада $L$, која је тиме сагласна са ЦФИ и из које (АК) се дају извести АИ и УХК.

Права класа $L$, заједно са $\in$ релацијом ограниченом само на $L$, је унутрашњи модел ЦФИ тј. нека транзитивна (тј. која садржи све елементе сопствених елемената) класа која садржи све ординале и задовољава све ЦФИ аксиоме. Права класа је, на тај начин, најмањи унутрашњи ЦФИ модел, пошто сваки други унутрашњи модел садржи праву класу.

За било који скуп $A$ може се конструисати најмањи ЦФ транзитивни модел који садржи $A$ и све ординале на сличан начин као и $L$, али где се почиње са транзитивним затварањем $A$, тј. најмањи транзитивни скуп који садржи $A$ уместо $\emptyset$. Резултујући модел $L(A)$ није нужно АИ модел. Један врло значајан АИ модел је $L(R)$, најмањи ЦФ транзитивни модел који садржи све ординале и све реалне бројеве.

Литература

• Keith J. Devlin, Constructibility (Berlin: Springer-Verlag, 1984), 56-107
• Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, Matematički fakultet, Beograd 2007