Kramerovo pravilo

Kramerovo pravilo je teorema u linearnoj algebri, koja daje rešenje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti. Dobila je ime po Gabrijelu Krameru (1704—1752).

Računski, radi se o neefikasnom postupku, i stoga se ne koristi u praksi u slučajevima kada je broj jednačina u sistemu veliki. Međutim, ovo pravilo je od teorijskog značaja jer daje eksplicitni izraz za rešenje sistema.

Elementarna formulacija

Sistem jednačina predstavljen u formi množenja matrica kao:

$Ax=c\,$

gde je kvadratna matrica $A$ invertibilna a vektor $x$ je vektor kolone promenljivih: $(x_{i})$.

Teorema onda tvrdi da:

$x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}$

$(1)\,$

gde je $A_{i}$ matrica koja se dobija zamenom i-te kolone iz $A$ vektorom kolone $c$. Radi jednostavnosti, ponekad se koristi samo jedan simbol kao što je $\Delta$ da predstavi $\det(A)$ a notacija $\Delta _{i}$ se koristi da predstavi $\det(A_{i})$. Stoga se jednačina (1) može kompaktnije zapisati kao

$x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,$

Apstraktna formulacija

Neka je R komutativni prsten, a A n×n matrica sa koeficijentima iz R. Onda

$\mathrm {Adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,$

gde Adj(A) označava adjungovanu matricu matrice A, det(A) je determinanta, a I je jedinična matrica.

Primer

Dobar način da se Kramerovo pravilo iskoristi za matrice dimenzije 2×2 je pomoću sledeće formule:

$ax+by={\color {red}e}\,$ i

$cx+dy={\color {red}f}\,$,

što se može zapisati u matričnom obliku

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}$

x i y se mogu naći Kramerovim pravilom:

$x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}$

i

$y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}$

Pravilo za matrice dimenzije 3×3 je slično.

$ax+by+cz={\color {red}j}\,$,

$dx+ey+fz={\color {red}k}\,$ i

$gx+hy+iz={\color {red}l}\,$,

što se može zapisati u matričnom obliku

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}$

x, y i z se mogu naći na sledeći način:

$x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$,   $y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$,   and   $z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}$

Primene u diferencijalnoj geometriji

Kramerovo pravilo je vrlo korisno za rešavanje problema u diferencijalnoj geometriji. Uzmimo dve jednačine $F(x,y,u,v)=0\,$ i $G(x,y,u,v)=0\,$. Kada su u i v nezavisne promenljive, možemo da definišemo $x=X(u,v)\,$ i $y=Y(u,v)\,$.

Nalaženje jednačine za $\partial x/\partial u$ je trivijalno primenom Kramerovog pravila.

Prvo izračunamo prve izvode za F, G, x i y.

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0$

$dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0$

$dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv$

$dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv$

Zamenom dx, dy у dF i dG, dobijamo:

$dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0$

$dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0$

Kako su u, v obe nezavisne, koeficijenti du, dv moraju biti jednaki nuli. Tako da možemo da napišemo:

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}$

${\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial G}{\partial v}}$

Sada, primenom Kramerovog pravila vidimo da:

${\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}$

Ovo sada je formula u obliku dva jakobijana:

${\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}$

Slične formule se mogu izvesti za ${\frac {\partial x}{\partial v}}$, ${\frac {\partial y}{\partial u}}$, ${\frac {\partial y}{\partial v}}$.

Primene u algebri

Kramerovo pravilo se može koristiti za dokazivanje Kejli-Hamiltonove teoreme iz linearne algebre, kao i Nakajamine leme, koja je od osnovnog značaja u teoriji komutativnih prstenova.