Krivolinijski integral

Krivolinijski integral je integral za čiju se oblast integracije uzima određena kriva, najčešće definisana u ravni ili prostoru. Za razliku od običnog određenog integrala, za čiju se oblast integraljenja uzima određeni pravougaoni segment prostora, krivolinijski integral omogućava izračunavanje integrala u kojem domen funkcije predstavljaju tačke određene glatke (ili deo-po-deo glatke) krive. U matematici se definišu krivolinijski integrali prve i druge vrste. U fizici krivolinijski integrali drugog reda imaju primjenu u izračunavanju rada koji čini neka sila po datoj krivoj.

Krivolinijski integral prve vrste

Krivolinijski integral prve vrste

Ako sa $f(x,y,z)$ označimo funkciju čiji integral računamo, a sa $L$ označimo datu krivu, krivolinijski integral prve vrste se obilježava na sljedeći način:

$\int \limits _{L}f(x,y,z)\,ds$.

Ukoliko jedan kraj krive $L$ označimo sa $A$, a njen drugi kraj sa $B$, krivolinijski integral prve vrste se obilježava još i sa:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)\,ds$.

Definicija

Neka je kriva $L$ zadata parametarski na intervalu $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Neka je na toj krivoj, odnosno na skupu tačaka koje je sačinjavaju, definisana funkcija $f(x,y,z)$.

Možemo formirati podjelu intervala $[\alpha ,\beta ]$ na $n$ dijelova, u sljedećim oznakama:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$.

Na svakom segmentu $[t_{i},t_{i-1}]$ možemo izabrati po jedno $\tau _{i}$, od kojih svako parametarski određuje po jednu tačku $M_{i}(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})$, gdje je $\xi _{i}=\varphi (\tau _{i}),\eta _{i}=\psi (\tau _{i}),\zeta _{i}=\chi (\tau _{i})$. Sa $\Delta s_{i}$ ćemo označiti dužinu krive na segmentu $[t_{i},t_{i-1}]$. Tada imamo sljedeću oznaku:

$\sigma _{1}(f,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})\Delta s_{i}$

Jasno je da će za različite podjele intervala gornji izraz imati različite vrijednosti. Nas zanima slučaj kada $\Delta s_{i}$ teži nuli, tj. kada je podjela intervala $[\alpha ,\beta ]$ „beskonačno gusta“. Na taj način uvodimo pojam krivolinijskog integrala prve vrste: ako postoji neki broj $I$, takav da za svako $\varepsilon >0$ postoji određeno $\delta >0$ tako da:

$max(\Delta s_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{1}(f,L)-I|<\varepsilon$,

taj broj $I$ nazivaćemo krivolinijskim integralom prve vrste funkcije $f$ na krivoj $L$. Zapisuje se kao što je dato u uvodu teksta. Kriva integracije se naziva još i lukom integracije.

Osobine

Krivolinijski integral prve vrste dijeli neke od osnovnih osobina sa običnim određenim integralom.

1. $\int \limits _{L}(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds=\alpha \int \limits _{L}f(x,y,z)ds+\beta \int \limits _{L}g(x,y,z)ds$,
2. Ako je za svaku tačku domena tačno: $f(x,y,z)<g(x,y,z)$, onda važi i: $\int \limits _{L}f(x,y,z)ds<\int \limits _{L}g(x,y,z)ds$,
3. $|\int \limits _{L}f(x,y,z)ds|\leq \int \limits _{L}|f(x,y,z)|ds$,
4. $\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{AC}f(x,y,z)ds+\int \limits _{CB}f(x,y,z)ds$, ako se tačka $C$ nalazi između tačaka $A$ i $B$.

Suprotno krivolinijskom integralu druge vrste, kod kojeg postoji pojam orijentacije, za krivolinijski integral prve vrste važi sljedeće:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$.

Računanje

Krivolinijski integral prve vrste, u skladu sa oznakama iz odjeljka „Definicija“, izračunava se pomoću sljedeće formule:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t),\chi (t)){\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)+\chi '^{2}(t)}}\,dt$

Uslovi za korišćenje ove formule su da je funkcija $f$ neprekidna i ograničena na krivoj $L$ i da je kriva $L$ glatka i bez singularnih tačaka. Formula važi i u slučajevima kada je kriva dio-po-dio glatka i funkcija dio-po-dio neprekidna.

Krivolinijski integral druge vrste

Krivolinijski integral druge vrste

Definicija

Neka je kriva $L$ zadata parametarski na intervalu $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Neka su na toj krivoj, odnosno na skupu tačaka koje je sačinjavaju, definisane funkcije $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ i $R(x,y,z)$.

Možemo formirati podjelu intervala $[\alpha ,\beta ]$ na $n$ dijelova, u sljedećim oznakama:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$.

Na svakom segmentu $[t_{i},t_{i-1}]$ možemo izabrati po jedno $\tau _{i}$, od kojih svako parametarski određuje po jednu tačku $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, gdje je $x_{i}=\varphi (\tau _{i}),y_{i}=\psi (\tau _{i}),z_{i}=\chi (\tau _{i})$. Sa $\Delta x_{i}$ ćemo označiti razliku $x_{i}-x_{i-1}$, i analogno $\Delta y_{i}$ i $\Delta z_{i}$ Tada imamo sljedeće oznake:

$\sigma _{2}(P,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}P(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta x_{i}$

$\sigma _{3}(Q,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}Q(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta y_{i}$

$\sigma _{4}(R,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}R(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta z_{i}$

U narednon tekstu govorićemo o $\sigma _{2}(P,L)$, imajući na umu da važe analogne oznake i za $\sigma _{3}$ i $\sigma _{4}$. Jasno je da će za različite podjele intervala gornji izraz $\sigma _{2}$ imati različite vrijednosti. Nas zanima slučaj kada $\Delta x_{i}$ teži nuli, tj. kada je podjela intervala $[\alpha ,\beta ]$ „beskonačno gusta“. Na taj način, ako postoji neki broj $I$, takav da za svako $\varepsilon >0$ postoji određeno $\delta >0$ tako da:

$max(\Delta x_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{2}(P,L)-I|<\varepsilon$,

taj broj $I$ nazivaćemo krivolinijskim integralom druge vrste funkcije $P$ na krivoj $L$. Zapisuje se na sljedeći način:

$\int \limits _{L}P(x,y,z)\,dx$, ili samo:

$\int \limits _{L}Pdx$.

Analogno se definišu integrali $\int \limits _{L}Qdy$ i $\int \limits _{L}Rdz$. Najčešće se posmatraju zbirovi ovih integrala:

$\int \limits _{L}Pdx+\int \limits _{L}Qdy+\int \limits _{L}Rdz$,

koji se obično obilježavaju kao:

$\int \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$. (1)

Ako usvojimo oznaku vektorske funkcije ${\overrightarrow {r}}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, odnosno ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$, tada oznaku (1) nazivamo (opštim) krivolinijskim integralom drugog reda funkcije ${\overrightarrow {r}}$.

U slučaju da je kriva $L$ zatvorena, tj. da je $A=B$, govorimo o cirkulaciji i definisani integral obilježavamo sa:

$\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$,

premda ovo nije obavezno sresti u literaturi, jer se ponekad smatra suvišnim.

Osobine

Za razliku od krivolinijskog integrala prvog reda, kod kojeg ne postoji pojam orijentacije i kod kojeg važi osobina:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$,

kod krivolinijskog integrala drugog reda važi osobina:

$\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=-\int \limits _{BA}Pdx+Qdy+Rdz$.

Ova osobina nastaje kao posljedica definicije krivolinijskog integrala i činjenice da je $x_{i}-x_{i-1}=-(x_{i-1}-x_{i})$. Na taj način, nije svejedno da li integracije vršimo u jednom ili drugom smjeru krive, a tu osobinu integrala drugog reda nazivamo orijentabilnošću, odnosno orijentacijom krive.

Računanje

Formula za izračunavanje vrijednosti krivolinijskog integrala drugog reda funkcije $P$ (analogno za $Q,R$, u skladu sa oznakama u pododjeljku „Definicija“ ovog odjeljka) jeste sljedeća:

$\int \limits _{AB}P(x,y,z)dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))\varphi '(t)$

Formula važi ukoliko je funkcija $P(x,y,z)$ neprekidna na krivoj $AB$, a kriva $AB$ glatka i bez singularnih tačaka. Ona takođe važi ukoliko je pomenuta kriva dio-po-dio glatka, a funkcija $P$ dio-po-dio neprekidna.

U slučaju zatvorene dvodimenzionalne krive, tj. krive smještene u ravni, i pod određenim uslovima, krivolinijski integral druge vrste može se računati i koristeći Grinovu teoremu.

Nezavisnost integracije od putanje

Jasno je da će u opštem slučaju vrijednost krivolinijskog integrala drugog reda zavisiti od oblika krive integracije $L$, tj. njene „putanje“. Ponekad to, međutim, nije tako i vrijednost integrala će zavisiti samo od početne i krajnje tačke, a biti potpuno nezavisna od međutačaka, tj. od oblika krive. Naime, važi sljedeća teorema, koja ima svoje primjene u nauci i tehnici:

Sljedeći iskazi su ekvivalentni:

• Za vektorsku funkciju ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$ postoji funkcija $u$, takva da je $(u_{x}',u_{y}',u_{z}')=(P,Q,R)$
• Krivolinijski integral $\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz$ ne zavisi od putanje, nego samo od tačaka $A$ i $B$. Vrijednost integrala u tom slučaju biće $u(B)-u(A)$
• Cirkulacija $\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$ po proizvoljnoj zatvorenoj putanji je jednaka nuli.

Vidi još

• Površinski integral

Literatura

• Adnađević, Dušan; Kadelburg, Zoran (1994). Matematička analiza II, drugo izdanje. Nauka, Beograd. 

Spoljašnje veze

• Primjene i zadaci vezani za krivolinijske integrale