Maksvel–Bolcmanova distribucija
U fizici (posebno u statističkoj mehanici), Maksvel-Bolcmanova raspodela je posebna distribucija verovatnoće nazvana po Džejmsu Klerku Maksvelu i Ludvigu Bolcmanu.
Prvo je definisana i korišćena za opisivanje brzina čestica u idealnim gasovima, gde se čestice slobodno kreću unutar nepokretnog kontejnera bez međusobne interakcije, izuzev vrlo kratkih sudara u kojima međusobno ili sa svojim okruženjem razmenjuju energiju i momentum. Termin „čestica“ u ovom kontekstu odnosi se samo na gasovite čestice ( atome ili molekule), a pretpostavlja se da je sistem čestica dostigao termodinamičku ravnotežu . [1] Energije takvih čestica prate ono što je poznato kao Maksvel-Bolcmanova statistika, a statistička raspodela brzina izvedena je izjednačavanjem energija čestica sa kinetičkom energijom .
Matematički, Maksvel-Bolcmanova raspodela je hi distribucija sa tri stepena slobode (komponente vektora brzine u Euklidovom prostoru), sa parametrom skale koji meri brzine u jedinicama proporcionalnim kvadratnom korenu od (odnos temperature i mase čestica). [2]
Maksvel-Bolcmanova raspodela rezultat je kinetičke teorije gasova, koja pruža pojednostavljeno objašnjenje mnogih osnovnih gasnih svojstava, uključujući pritisak i difuziju . [3] Maksvel-Bolcmanova raspodela se u osnovi primenjuje na brzine čestica u tri dimenzije, ali se ispostavilo da zavisi samo od brzine ( iznosa brzine) čestica. Raspodela verovatnoće brzine čestice ukazuje na to koje su brzine verovatnije: čestica će imati brzinu slučajno odabranu iz raspodele i veća je verovatnoća da će biti unutar jednog opsega brzina od drugog. Kinetička teorija gasova odnosi se na klasični idealan gas, koji je idealizacija stvarnih gasova. U stvarnim gasovima postoje različiti efekti (npr. Van der Valsove interakcije, vrtložni tok, relativistička ograničenja brzine i interakcije kvantne razmene ) koji mogu učiniti njihovu raspodelu brzine drugačijom od Maksvel-Bolcmanovog modela. Međutim, razređeni gasovi na uobičajenim temperaturama ponašaju se gotovo kao idealan gas i Maksvelova raspodela brzine je odlična aproksimacija za takve gasove. Idealne plazme, koje su jonizovani gasovi sa dovoljno malom gustinom, često imaju i raspodelu čestica koja je delimično ili u potpunosti maksvelovska. [4]
Distribuciju je prvi izveo Maksvel 1860. godine na heurističkim osnovama. [5] Bolcman je kasnije, 1870-ih, sproveo značajna istraživanja fizičkog porekla ove distribucije.
Distribucija se može izvesti na osnovu toga što maksimalizuje entropiju sistema. Spisak izvoda su:
- Maksimalna raspodela verovatnoće entropije u faznom prostoru, sa ograničenjem očuvanja prosečne energije ;
- Kanonski ansambl .
Funkcija distribucije
[uredi | uredi izvor]Pod pretpostavkom da sistem od interesa sadrži veliki broj čestica, udeo čestica unutar beskonačno malog elementa trodimenzionalnog prostora brzine,, centriran na vektor brzine veličine, je, u kojima
gde je masa čestica i je proizvod Bolcmanove konstantne i termodinamičke temperature .
Element prostora brzine možemo zapisati kao d = d d d, za brzine u standardnom kartezijanskom koordinatnom sistemu ili kao d = d d u standardnom sfernom koordinatnom sistemu, gde d je element punog ugla. U ovom slučaju, je data kao funkcija raspodele verovatnoće, pravilno normalizovana tako da d preko svih brzina jednaka je jedan. U fizici plazme, raspodela verovatnoće se često pomnoži sa gustinom čestica, tako da je integral rezultujuće funkcije raspodele jednak gustini.
Maksvelova funkcija raspodele za čestice koje se kreću samo u jednom smeru, ako je ovaj pravac , je
koji se mogu dobiti integrisanjem trodimenzionalne forme dane iznad i .
Prepoznavši simetriju , može se integrisati preko punog ugla i napisati raspodela verovatnoće brzina kao funkcija
Ova funkcija gustine verovatnoće daje verovatnoću, po jedinici brzine, nalaženja čestice brzinom blizu . Ova jednačina je jednostavno Maksvel-Bolcmanova raspodela (data u info kutiji) sa parametrom raspodele . Maksvel-Bolcmanova raspodela ekvivalentna je hi distribuciji sa tri stepena slobode i parametrom skale .
Najjednostavnija obična diferencijalna jednačina koju zadovoljava raspodela je:
ili predstavljeno bez jedinice:
Darvin-Fovler-ovom metodom srednjih vrednosti dobija se Maksvel-Bolcmanova raspodela kao tačan rezultat.
Odnos prema 2D Maksvel-Bolcmanovoj raspodeli
[uredi | uredi izvor]Za čestice ograničene da se kreću u ravni, raspodela brzine je data sa
Ova raspodela se koristi za opis sistema u ravnoteži. Međutim, većina sistema ne započinje u ravnotežnom stanju. Evolucijom sistema ka njegovom ravnotežnom stanju upravlja Bolcmanova jednačina . Jednačina predviđa da će za interakcije kratkog dometa ravnotežna raspodela brzine slediti Maksvel-Bolcmanovu raspodelu. Desno je simulacija molekularne dinamike (MD) u kojoj je 900 čestica tvrde sfere ograničeno da se kreće u pravougaoniku. Oni komuniciraju pomoću savršeno elastičnih sudara. Sistem se pokreće iz ravnoteže, ali raspodela brzine (u plavoj boji) brzo konvergira u 2D Maksvel-Bolcman raspodelu (u narandžastoj boji).
Tipične brzine
[uredi | uredi izvor]Srednja brzina , najverovatnija brzina ( režim) vp i srednja kvadratna brzina mogu se dobiti iz svojstava Maksvelove raspodele.
Ovo dobro funkcioniše za gotovo idealne, monatomske gasove poput helijuma, ali i za molekularne gasove poput dvoatomskog kiseonika . To je zato što, uprkos većem toplotnom kapacitetu (većoj unutrašnjoj energiji pri istoj temperaturi) zbog većeg broja stepeni slobode, njihova translaciona kinetička energija (a samim tim i brzina) ostaje nepromenjena. [6]
- }}-->Ukratko, tipične brzine su povezane na sledeći način:
Srednja kvadratna brzina direktno je povezana sa brzinom zvuka c u gasu, za
gde je adijabatski indeks, f je broj stepena slobode pojedinačnog molekula gasa. Za gornji primer, dvoatomni azot (približni vazduh) na , 300 [7] i
prava vrednost vazduha se može aproksimalizovati korišćenjem prosečne molarne težine vazduha ( ), dajući 29 na 347 (korekcije za promenljivu 300vlažnost vazduha su reda od 0,1% do 0,6%).
Prosečna relativna brzina
gde je trodimenzionalna raspodela brzine
Integral se lako može izvršiti promenom na koordinate i
Izvođenje i srodne distribucije
[uredi | uredi izvor]Maksvel – Bolcman statistika
[uredi | uredi izvor]Prvobitno izvođenje iz 1860. godine Džejmsa Klerka Maksvela bio je argument zasnovan na molekularnim sudarima kinetičke teorije gasova kao i određenim simetrijama u funkciji raspodele brzine; Maksvel je takođe dao rani argument da ovi molekularni sudari imaju tendenciju ka ravnoteži. [5] [8] Posle Maksvela, Ludvig Bolcman je 1872. godine [9] takođe izveo raspodelu na mehaničkim osnovama i tvrdio da bi gasovi vremenom trebalo da teže ka toj raspodeli, usled sudara (vidi H-teoremu ). Kasnije (1877) [10] je ponovo izveo raspodelu u okviru statističke termodinamike . Izvodi u ovom odeljku su u skladu sa Bolcmanovim izvođenjem iz 1877. godine, počev od rezultata poznatog kao Maksvel -Bolcman statistika (iz statističke termodinamike). Maksvel -Bolcmanova statistika daje prosečan broj čestica pronađenih u datom jednočestičnom mikrostanju. Pod određenim pretpostavkama, logaritam frakcije čestica u datom mikrostanju srazmeran je odnosu energije tog stanja i temperature sistema:
Pretpostavke ove jednačine su da čestice ne interaguju međusobno i da su klasične; to znači da se stanje svake čestice može smatrati nezavisno od stanja ostalih čestica. Pored toga, pretpostavlja se da su čestice u toplotnoj ravnoteži. [1] [11]
Ova veza se može napisati kao jednačina uvođenjem normalizujućeg faktora:
-
(1)
gde:
- Ni je očekivani broj čestica u jednočestičnom mikrostanju i,
- N je ukupan broj čestica u sistemu,
- Ei je energija mikrostanja i,
- zbir nad indeksom j uzima u obzir sva mikrostanja,
- T je ravnotežna temperatura sistema,
- k je Bolcmanova konstanta .
Denominator u jednačini ( 1 ) je jednostavno normalizujući faktor tako da odnosi doprinose jedinstvu- drugim rečima, to je neka vrsta particijske funkcije (za jednoparticijski sistem, a ne uobičajena particijska funkcija čitavog sistema).
Budući da su brzina i velocitet povezani sa energijom, jednačina ( 1 ) se može koristiti za dobijanje odnosa između temperature i brzine čestica gasa. Sve što je potrebno je otkriti gustinu mikrostanja u energiji, koja se određuje podelom prostora impulsa na regione jednake veličine.
Raspodela vektora impulsa
[uredi | uredi izvor]Za potencijalnu energiju se uzima nula, tako da je sva energija u obliku kinetičke energije. Odnos između kinetičke energije i impulsa za masivne nerelativističke čestice je
-
(2)
gde je p 2 kvadrat impulsnog vektora p = [ p k, p i, p z ]. Stoga jednačinu ( 1 ) možemo prepisati kao:
-
(3)
gde je Z particijska funkcija, koja odgovara denominatoru u jednačini ( 1 ). Ovde je m molekulska masa gasa, T termodinamička temperatura i k Bolcmanova konstanta . Ova distribucija je proporcionalan funkciji gustine verovatnoće f p za pronalaženje molekula sa ovim vrednostima komponenti impulsa, pa:
-
(4)
Normalizujuća konstanta može se odrediti prepoznavanjem da verovatnoća molekula ima određeni zamah mora biti 1. Integrisanjem eksponencijala u ( 4 ) po svim pk,p y i pz dobija se faktor od
Tako da je normalizovana funkcija raspodele:
Raspodela energije
[uredi | uredi izvor]Raspodela energije je impozantna
-
(7)
gde je beskonačno mali zapreminski prostor impulsa faznog prostora koji odgovara energetskom intervalu . Koristeći sfernu simetriju odnosa disperzije energije i impulsa, ovo se može izraziti u na sledeći način :
-
(8)
Koristeći tada ( 8 ) u ( 7 ) i izražavajući sve u smislu energije, dobijamo
Koristeći teoremu o ravnoteži, s obzirom da je energija ravnomerno raspoređena između sva tri stepena slobode u ravnoteži, takođe možemo podeliti u skup hi-kvadrat distribucija, gde energija po stepenu slobode,, distribuira se kao hi-kvadrat distribucija sa jednim stepenom slobode, [12]
U ravnoteži, ova raspodela će važiti za bilo koji broj stepeni slobode. Na primer, ako su čestice rigidni maseni dipoli fiksnog dipolnog momenta, imaće tri translaciona stepena slobode i dva dodatna rotaciona stepena slobode. Energija u svakom stepenu slobode biće opisana prema gornjoj hi-kvadrat raspodeli sa jednim stepenom slobode, a ukupna energija biće raspoređena prema hi-kvadrat distribuciji sa pet stepena slobode. To ima implikacije u teoriji specifične toplote gasa.
Maksvel-Bolcman-ova raspodela se takođe može dobiti uzimajući u obzir da je gas vrsta kvantnog gasa za koji se može izvršiti aproksimacija ε >> k T.
Raspodela za vektor brzine
[uredi | uredi izvor]Shvatajući da je gustina verovatnoće brzine f v proporcionalna funkciji gustine verovatnoće impulsa za
i koristeći p = m v dobijamo
Kao i momentum, i za ovu raspodelu se vidi da je proizvod tri nezavisne normalno distribuirane promenljive, , i, ali sa odstupanjem . Takođe se može videti da je Maksvel-Bolcmanova raspodela brzine za vektorsku brzinu [v k, v y, vz ] je umnožak raspodele za svaki od tri pravca:
gde je raspodela za jedan pravac
Svaka komponenta vektora brzine ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću i standardna devijacija, tako da vektor ima trodimenzionalnu normalnu raspodelu, određenu vrstu multivarijantne normalne raspodele, sa srednjom vrednosti i kovarijancija, gde je identitet matrica.
Raspodela brzine
[uredi | uredi izvor]Maksvel-Bolcmanova raspodela brzine sledi neposredno iz raspodele vektora brzine, gore. Imajte na umu da je brzina
a element zapremine u sfernim koordinatama
gde i su sferni koordinatni uglovi vektora brzine. Integracija funkcije gustine verovatnoće brzine preko punih uglova daje dodatni faktor od . Raspodela brzine sa zamenom brzine za zbir kvadrata vektorskih komponenata:
U n -dimenzionalnom prostoru
[uredi | uredi izvor]U n- dimenzionalnom prostoru Maksvel-Bolcmanova raspodela postaje:
Distribucija brzine postaje:
Sledeći integralni rezultat je koristan:
gde je funkcija Gama . Ovaj rezultat se može koristiti za izračunavanje trenutaka funkcije raspodele brzine:
koja je sama srednja brzina .
Izvod funkcije raspodele brzine:
Vidi još
[uredi | uredi izvor]- Kvantna Bolcmanova jednačina
- Maksvel – Bolcman statistika
- Maksvel-Juttnerova raspodela
- Bolcmanova raspodela
- Bolcmanov faktor
- Raileigh distribucija
- Kinetička teorija gasova
Reference
[uredi | uredi izvor]- ^ a b Statistical Physics (2nd Edition), F. Mandl, Manchester Physics, John Wiley & Sons, (2008) ISBN 9780471915331
- ^ University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: (2008) ISBN 978-0-321-50130-1
- ^ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, (1991) ISBN 3-527-26954-1 (Verlagsgesellschaft), ISBN 0-89573-752-3 (VHC Inc.)
- ^ N.A. Krall and A.W. Trivelpiece, Principles of Plasma Physics, San Francisco Press, Inc., 1986, among many other texts on basic plasma physics
- ^ a b See:
- ^ Raymond A. Serway; Jerry S. Faughn; Chris Vuille (2011). College Physics, Volume 1 (9th izd.). str. 352. ISBN 9780840068484.
- ^ Nitrogen at room temperature is considered a "rigid" diatomic gas, with two rotational degrees of freedom additional to the three translational ones, and the vibrational degree of freedom not accessible.
- ^ Gyenis, Balazs (2017). „Maxwell and the normal distribution: A colored story of probability, independence, and tendency towards equilibrium”. Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 57: 53—65. Bibcode:2017SHPMP..57...53G. arXiv:1702.01411 . doi:10.1016/j.shpsb.2017.01.001.
- ^ Boltzmann, L., "Weitere studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, 66, 1872, pp. 275–370.
- ^ Boltzmann, L., "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respektive den Sätzen über das Wärmegleichgewicht." Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. Abt. II, 76, 1877, pp. 373–435. Reprinted in Wissenschaftliche Abhandlungen, Vol. II, pp. 164–223, Leipzig: Barth, 1909. Translation available at: http://crystal.med.upenn.edu/sharp-lab-pdfs/2015SharpMatschinsky_Boltz1877_Entropy17.pdf Arhivirano na sajtu Wayback Machine (5. март 2021)
- ^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, (1994) ISBN 0-07-051400-3
- ^ Laurendeau, Normand M. (2005). Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press. str. 434. ISBN 0-521-84635-8., Appendix N, page 434
Dodatna literatura
[uredi | uredi izvor]- Fizika za naučnike i inženjere - sa savremenom fizikom (6. izdanje), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, (2008) ISBN 0-7167-8964-7
- Termodinamika, od koncepata do primene (drugo izdanje), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Press (Tailor i Francis Group, SAD), (2009) ISBN 978-1-4200-7368-3
- Hemijska termodinamika, DJG Ives, Univerzitetska hemija, Macdonald Technical and Scientific, (1971) ISBN 0-356-03736-3
- Elementi statističke termodinamike (drugo izdanje), LK Nash, Principles of Chemistri, Addison-Veslei, (1974) ISBN 0-201-05229-6
- Vard, CA i Fang, G 1999, „Izraz za predviđanje fluksa isparavanja tečnosti: Pristup statističkoj brzini teorije“, Phisical Reviev E, vol. 59, br. 1, str. 429–40.
- Rahimi, P & Vard, CA 2005, „Kinetika isparavanja: pristup teoriji statističke brzine“, Međunarodni časopis za termodinamiku, vol. 8, br. 9, str. 1–14.
Spoljašnje veze
[uredi | uredi izvor]- "Raspodela brzine Maksvel" iz projekta Volfram Demonstrations na Mathvorld-u