Raspodela verovatnoće

U teoriji verovatnoće i statistici, raspodela verovatnoće je matematička funkcija koja daje verovatnoću pojave različitih mogućih ishoda u eksperimentu. U tehničkom smislu, distribucija verovatnoće je opis randomne pojave u pogledu verovatnoće događaja. Na primer, ako bi se slučajna promenljiva X koristila za označavanje ishoda bacanja novčića („eksperiment”), tada bi raspodela verovatnoće od X dobila vrednost 0,5 za X = glave, i X = pismo (pod pretpostavkom da je kovanica poštena). Primeri randomnih pojava obuhvataju rezultate eksperimenta ili istraživanja.

Raspodela verovatnoća se navodi na bazi ishodišnog prostora uzorka, koji je skup svih mogućih ishoda slučajne pojave koja se posmatra. Prostor uzorka može biti skup realnih brojeva ili skup vektora, ili može biti spisak nenumeričkih vrednosti; na primer, uzorak prostora bacanja kovanice bio bi {glava, pismo} .

Raspodele verovatnoće uglavnom se dele u dve klase. Diskretna raspodela verovatnoće (primenjiva na scenarije u kojima je skup mogućih ishoda diskretan, poput bacanja kovanice ili kocke) može se kodirati diskretnom listom verovatnoća ishoda, poznatom kao funkcija verovatnoće. S druge strane, kontinuirana raspodela verovatnoće (primenjiva na scenarije u kojima skup mogućih ishoda može da poprimi vrednosti u neprekidnom rasponu (npr. realni brojevi), poput temperature datog dana) tipično se opisuje funkcijama gustine verovatnoće (sa verovatnoćom da je svaki pojedinačni ishod zapravo 0). Normalna raspodela je uobičajena neprekidna raspodela verovatnoće.

Složeniji eksperimenti, poput onih koji uključuju stohastičke procese definisane u kontinuiranom vremenu, mogu zahtevati upotrebu opštijih mera verovatnoće.

Raspodela verovatnoće čiji je prostor uzorka jednodimenzionalan (na primer realni brojevi, lista natpisa, uređene oznake ili binarne vrednosti) naziva se univarijantnom, dok se raspodela čiji je prostor uzorka vektorski prostor dimenzije 2 ili više naziva multivarijantnom. Univarijantna raspodela daje verovatnoće da jedna slučajna promenljiva poprimi različite alternativne vrednosti; multivarijantna distribucija (združena distribucija verovatnoće) daje verovatnoće da slučajni vektor - lista sa dve ili više slučajnih promenljivih - poprimi različite kombinacije vrednosti. Važne i uobičajene raspodele verovatnoće uključuju binomnu raspodelu, hipergeometrijsku raspodelu i normalnu raspodelu. Multivarijantna normalna raspodela je često prisutna multivarijantna raspodela.

Uvod

Funkcija verovatnoće (engl. probability mass function - pmf) p(S) definiše raspodelu verovatnoće za sumu S ishoda bacanja dve kocke. Na primer, slika prikazuje da je p(11) = 2/36 = 1/18. Funkcija verovatnoće omogućava izračunavanje verovatnoća događaja kao što je P(S > 9) = 1/12 + 1/18 + 1/36 = 1/6, i svih drugih verovatnoća u raspodeli.

Da bi se definisale raspodele verovatnoće za najjednostavnije slučajeve, potrebno je razlikovati diskretne i kontinuirane slučajne promenljive. U diskretnom slučaju dovoljno je odrediti funkciju verovatnoće $p$ koja dodeljuje verovatnoću svakom mogućem ishodu: na primer, prilikom bacanja kocke, svaka od šest vrednosti 1 do 6 ima verovatnoću 1/6. Verovatnoća događaja se tada definiše kao zbir verovatnoća ishoda koji zadovoljavaju događaj; na primer, verovatnoća događaja „bacanje kocke daje parnu vrednost” je

$p(2)+p(4)+p(6)=1/6+1/6+1/6=1/2.$

U kontrastu s tim, kada slučajna promenljiva poprima vrednosti iz kontinuuma onda tipično svaki pojedinačni ishod ima nultu verovatnoću, i samo događaji koji uključuju beskonačno mnogo ishoda, kao što su intervali, mogu imati pozitivnu verovatnoću. Na primer, verovatnoća da neki predmet teži tačno 500 g je nula, jer verovatnoća merenja tačno 500 g teži nuli sa povećanjev tačnosti naših mernih instrumenata. Ipak, u kontroli kvaliteta može se zahtevati da verovatnoća da paket od 500 g sadrži između 490 g i 510 g ne bude manja od 98%, i taj zahtev je manje osetljiv na tačnost mernih instrumenata.

Kontinuirana raspodela verovatnoće može se opisati na više načina. Funkcija gustine verovatnoće opisuje infinitezimalnu verovatnoću bilo koje date vrednosti, i verovatnoća da se ishod nalazi u datom intervalu može se izračunati integrisanjem funkcije gustine verovatnoće tokom tog intervala. S druge strane, funkcija kumulativne raspodele opisuje verovatnoću da slučajna promenljiva nije veća od date vrednosti; verovatnoća da se ishod nalazi u datom intervalu može se izračunati uzimajući razliku između vrednosti funkcije kumulativne distribucije na krajnjim tačkama intervala. Kumulativna funkcija raspodele je antiderivat funkcije gustine verovatnoće pod uslovom da potonja funkcija postoji.

Funkcija gustine verovatnoće (engl. probability density function - pdf) normalne raspodele, koja se takođe naziva Gausijan ili „zvonasta kriva”, najvažnija je kontinuirana slučajna raspodela. Kao što je prikazano na slici, verovatnoće intervala vrednosti odgovaraju području ispod krive.

Definicija

Raspodela verovatnoće je nenegativna funkcija ƒ definisana na skupu realnih brojeva $\ \scriptstyle \mathbb {R} ,\$, takva da je verovatnoća da slučajna promenljiva uzme vrednost iz intervala [a, b] za svako a < b data integralom: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ Integral funkcije ƒ na celom skupu $\ \mathbb {R} \$ jednak je 1.

Opšta definicija verovatnoće

Raspodela verovatnoće se može opisati u različitim oblicima, kao što je funkcija verovatnoće ili funkcija kumulativne distribucije. Jedan od najopštijih opisa, koji se primenjuje za apsolutno kontinuirane i diskretne promenljive, je pomoću funkcije verovatnoće $P\colon {\mathcal {A}}\to \mathbb {R}$ čiji ulazni prostor ${\mathcal {A}}$ je σ-algebra, koja daje verovatnoću realnog broja kao svoj izlaz, posebno broj u $[0,1]\subseteq \mathbb {R}$.

Funkcija verovatnoće $P$ može uzeti kao argument podskupove samog prostora uzorka, kao u primeru bacanja novčića, gde je funkcija $P$ definisana tako da je P(glava) = 0.5 i P(rep) = 0.5. Međutim, zbog široke upotrebe randomnih promenljivih, koje transformišu prostor uzorka u skup brojeva (npr. $\mathbb {R}$, $\mathbb {N}$), to je više uobičajeno za proučavanje distribucija verovatnoće čiji su argumenti podskupovi ovih posebnih vrsta skupova (skupova brojeva), i sve distribucije verovatnoće o kojima se govori u ovom članku su ovog tipa. Uobičajeno je da se označava kao $P(X\in E)$ verovatnoća da određena vrednost promenljive $X$ pripada određenom događaju $E$.

Gornja funkcija verovatnoće karakteriše distribuciju verovatnoće samo ako zadovoljava sve Kolmogorovljeve aksiome, to jest:

1. $P(X\in E)\geq 0\;\forall E\in {\mathcal {A}}$, tako da je verovatnoća nenegativna
2. $P(X\in E)\leq 1\;\forall E\in {\mathcal {A}}$, tako da nijedna verovatnoća ne prelazi $1$
3. $P(X\in \bigcup _{i}E_{i})=\sum _{i}P(X\in E_{i})$ za bilo koju disjunkturnu porodicu skupova $\{E_{i}\}$

Koncept funkcije verovatnoće postaje rigorozniji tako što se definiše kao element prostora verovatnoće $(X,{\mathcal {A}},P)$, gde je $X$ je skup mogućih ishoda, ${\mathcal {A}}$ je skup svih podskupova $E\subset X$ čija se verovatnoća može izmeriti, a $P$ je funkcija verovatnoće, ili mera verovatnoće, koja dodeljuje verovatnoću svakom od ovih merljivih podskupova $E\in {\mathcal {A}}$.

Vidi još

• Funkcija raspodele

Literatura

• B. S. Everitt: The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press, Cambridge (3rd edition, 2006). ISBN 0-521-69027-7
• Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, ISBN 0-387-31073-8.
• den Dekker, A. J.; Sijbers, J. (2014). „Data distributions in magnetic resonance images: A review”. Physica Medica. 30 (7): 725—741. PMID 25059432. doi:10.1016/j.ejmp.2014.05.002. 
• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability. 
• Patrick Billingsley (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-00710-2. 
• David Stirzaker (2003). Elementary Probability. ISBN 0-521-42028-8. 
• Olav Kallenberg; Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Henk Tijms (2004). Understanding Probability. Cambridge Univ. Press. 

A lively introduction to probability theory for the beginner.

• Olav Kallenberg; Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer -Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Durrett, Rick (2019). Probability: Theory and Examples, 5th edition. UK: Cambridge University Press. ISBN 9781108473682. 
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0. 
• Billingsley, Patrick (1979). Probability and Measure. New York, Toronto, London: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-00710-2. 
• Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference (Second izd.). Thomson Learning. str. 34—37. ISBN 0-534-24312-6. 
• Stirzaker, David (2003). Elementary Probability. ISBN 0-521-42028-8. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Probability distribution”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Field Guide to Continuous Probability Distributions, Gavin E. Crooks.