Realna analiza

Prva četiri delimična zbira Furijeovog reda za kvadratni talas. Furijeovi redovi su važan alat u realnoj analizi.

Realna analiza je grana matematičke analize koja se bavi skupom realnih brojeva. Preciznije, ona se bavi analitičkim svojstvima realnih funkcija i nizova, uključujući konvergenciju limese nizova realnih brojeva, neprekidnost, diferencijabilnost i srodna svojstsva realnih funkcija. Neka posebna svojstva nizova i funkcija realnih vrednosti koje proučava realna analiza uključuju konvergenciju, granice, kontinuitet, glatkoću, diferencijabilnost i integrabilnost.

Realna analiza se razlikuje od kompleksne analize koja se bavi proučavanjem kompleksnih brojeva i njihovih funkcija.

Opseg

Konstrukcija realnih brojeva

Glavni članak: Konstrukcija realnih brojeva

Teoreme realne analize oslanjaju se na svojstva realnog brojevnog sistema, koji se moraju uspostaviti. Realni brojni sistem se sastoji od nebroivog skupa ($\mathbb {R}$), zajedno sa dve binarne operacije označene + i ⋅, i redosledom označenim <. Operacije pretvaraju brojeve u polje, a zajedno sa redosledom i u uređeno polje. Realni brojevni sistem je jedinstveno potpuno uređeno polje, u smislu da mu je svako drugo potpuno uređeno polje izomorfno. Intuitivno, potpunost znači da nema 'praznina' u realnim brojevima. Ovo svojstvo razlikuje realne brojeve od drugih uređenih polja (npr. racionalni brojevi $\mathbb {Q}$) i ključno je za dokaz nekoliko ključnih svojstava funkcija realnih brojeva. Potpunost realnih vrednosti se često podesno izražava kao svojstvo najmanje gornje granice (vidi dole).

Svojstva redosleda realnih brojeva

Realni brojevi imaju različita svojstva teorijske mreže koja su odsutna u kompleksnim brojevima. Takođe, realni brojevi čine uređeno polje, u kome su zbirovi i proizvodi pozitivnih brojeva takođe pozitivni. Štaviše, redosled realnih brojeva je totalan, a realni brojevi imaju najmanju gornju granicu:

Svaki neprazan podskup od $\mathbb {R}$ koji ima gornju granicu ima najmanju gornju granicu koja je takođe realan broj.

Ove teorijske osobine reda dovode do niza fundamentalnih rezultata u realnoj analizi, kao što su teorema monotone konvergencije, teorema srednje vrednosti i teorema srednje vrednosti.

Topološka svojstva realnih brojeva

Mnoge teoreme realne analize su posledice topoloških svojstava realne brojevne prave. Svojstva redosleda realnih brojeva opisanih iznad su usko povezana sa ovim topološkim svojstvima. Kao topološki prostor, realni brojevi imaju standardnu topologiju, koja je topologija reda indukovana redosledom $<$. Alternativno, definisanjem funkcije metrike ili udaljenosti $d:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ koristeći funkciju apsolutne vrednosti kao $d(x,y)=|x-y|$, realni brojevi postaju prototipski primer metričkog prostora. Pokazalo se da je topologija indukovana metrikom $d$ identična standardnoj topologiji indukovanoj redosledom $<$. Teoreme poput teoreme srednje vrednosti koje su u suštini topološke prirode često se mogu dokazati u opštijim okvirima metričkih ili topoloških prostora, a ne samo u $\mathbb {R}$. Često takvi dokazi imaju tendenciju da budu kraći ili jednostavniji u poređenju sa klasičnim dokazima koji primenjuju direktne metode.

Nizovi

Glavni članak: Niz

Niz je funkcija čiji je domen prebrojiv, potpuno uređen skup. Domen se obično uzima da se sastoji od prirodnih brojeva, iako je povremeno podesno uzeti u obzir i dvosmerne sekvence indeksirane skupom svih celih brojeva, uključujući negativne indekse.

Od interesa za realnu analizu, niz realne vrednosti, ovde indeksiran prirodnim brojevima, je mapa $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R} :n\mapsto a_{n}$. Svaki $a(n)=a_{n}$ se naziva član (ili, ređe, element) niza. Niz se retko eksplicitno označava kao funkcija; umesto toga, po konvenciji, skoro uvek se beleži kao da je uređena ∞-torka, sa pojedinačnim članovima ili opštim članom u zagradama:

$$(a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ).$$

Za niz koji teži ka granici (tj. ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ postoji) kaže se da je konvergentan; inače je divergentan. (Pogledajte odeljak o granicama i konvergenciji za detalje.) Niz realne vrednosti $(a_{n})$ je ograničen ako postoji $M\in \mathbb {R}$ tako da je $|a_{n}|<M$ za sve $n\in \mathbb {N}$. Niz realne vrednosti $(a_{n})$ se monotono povećava ili smanjuje ako respektivno važi:

$$a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots$$

ili

$$a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots$$

Ako važi bilo koje od njih, kaže se da je niz monoton. Monotonost je stroga ako lančane nejednakosti i dalje važe sa $\leq$ ili $\geq$ zamenjenim sa < ili >.

Za dati niz $(a_{n})$, drugi niz $(b_{k})$ je podniz od $(a_{n})$ ako je $b_{k}=a_{n_{k}}$ za sve pozitivne cele brojeve $k$ i $(n_{k})$ striktno rastući niz prirodnih brojeva.

Granice i konvergencija

Glavni članak: Granična vrednost

Grubo govoreći, granica je vrednost kojoj se funkcija ili niz „približava“ dok se ulaz ili indeks približava nekoj vrednosti. (Ova vrednost može uključivati simbole $\pm \infty$ kada se adresira ponašanje funkcije ili niza kako se promenljiva povećava ili smanjuje bez ograničenja.) Ideja ograničenja je fundamentalna za račun (i matematičku analizu uopšte) i njegova formalna definicija se koristi za definisanje pojmova kao što su kontinuitet, derivati i integrali. (U stvari, proučavanje ograničavajućeg ponašanja je korišćeno kao karakteristika koja razlikuje račun i matematičku analizu od drugih grana matematike.)

Vidi još

• Kompleksna analiza

Literatura

• Andrew J Watts, Real Analysis Explained
• Abbott, Stephen (2001). Understanding Analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5. 
• Aliprantis, Charalambos D.; Burkinshaw, Owen (1998). Principles of real analysis (3rd izd.). Academic. ISBN 0-12-050257-7. 
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011). Introduction to Real Analysis (4th izd.). New York: John Wiley and Sons. ISBN 978-0-471-43331-6. 
• Bressoud, David (2007). A Radical Approach to Real Analysis. MAA. ISBN 978-0-88385-747-2. 
• Browder, Andrew (1996). Mathematical Analysis: An Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4. 
• Carothers, Neal L. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521497565. 
• Dangello, Frank; Seyfried, Michael (1999). Introductory Real Analysis. Brooks Cole. ISBN 978-0-395-95933-6. 
• Kolmogorov, A. N.; Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Translated by Richard A. Silverman. Dover Publications. ISBN 0486612260. Pristupljeno 2. 4. 2013. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd izd.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. 
• Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd izd.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 091409890X. 
• Pugh, Charles Chapman (2002). Real Mathematical Analysis. New York: Springer. str. 11–15. ISBN 978-0-387-95297-0. 
• Hersh, Reuben (1997). What is Mathematics, Really?. New York: Oxford University Press US. str. 274. ISBN 978-0-19-513087-4. 
• Ross Street (septembar 2003). „Update on the efficient reals” (PDF). Pristupljeno 2010-10-23. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Shenitzer, A (1987). „A topics course in mathematics”. The Mathematical Intelligencer. 9 (3): 44—52. S2CID 122199850. doi:10.1007/bf03023955. 
• „Sequences”. www.mathsisfun.com. Pristupljeno 2020-08-17. 
• Weisstein, Eric W. „Sequence”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-17. 
• Edward B. Saff & Arthur David Snider (2003). „Chapter 2.1”. Fundamentals of Complex Analysis. ISBN 978-01-390-7874-3. 
• James R. Munkres (2000). „Chapters 1&2”. Topology. ISBN 978-01-318-1629-9. 
• Lando, Sergei K. (2003-10-21). „7.4 Multiplicative sequences”. Lectures on generating functions. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7. 
• Falcon, Sergio (2003). „Fibonacci's multiplicative sequence”. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 34 (2): 310—315. S2CID 121280842. doi:10.1080/0020739031000158362. 
• Gaughan, Edward (2009). „1.1 Sequences and Convergence”. Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9. 
• Dawikins, Paul. „Series and Sequences”. Paul's Online Math Notes/Calc II (notes). Pristupljeno 18. 12. 2012. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. 
• Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). str. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4. 
• Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18. 
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth izd.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2. 
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd izd.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473 

Dodatna literatura

• „A First Course in Analysis”. doi:10.1142/8580. 

Spoljašnje veze

• How We Got From There to Here: A Story of Real Analysis Arhivirano na sajtu Wayback Machine (22. februar 2019) by Robert Rogers and Eugene Boman by Donald Yau
• Analysis WebNotes Arhivirano na sajtu Wayback Machine (20. februar 2022) by John Lindsay Orr
• Interactive Real Analysis by Bert G. Wachsmuth
• A First Analysis Course Arhivirano na sajtu Wayback Machine (27. septembar 2007) by John O'Connor
• Mathematical Analysis I by Elias Zakon
• Mathematical Analysis II by Elias Zakon
• Trench, William F. (2003). Introduction to Real Analysis (PDF). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045786-8. 
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
• „IsarMathLib”.