Saha jednačina

Saha jednačina ili Saha-Langmur jednačina u fizici plazme je jednačina koja povezuje stepen jonizacije plazme sa njenom temperaturom. Stepen jonizacije plazme je predstavljen kao funkcija temperature, gustine i jonizacione energije atoma. Pomoću ove jednačine može se izraziti odnos broja različitih čestica u plazmi pri datoj temperaturi kada su poznati ravnotežni uslovi, a u sistemu mogu da se vrše čestične transformacije:

{\frac {n_{\alpha +1}n_{e}}{n_{\alpha }}}=2{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}{\frac {Z_{\alpha +1}^{(el)}}{Z_{\alpha }^{(el)}}}e^{{\frac {ee_{\alpha +1}}{4\pi \epsilon _{0}r_{D}}}{\frac {1}{kT}}}.

Jednačina je dobila naziv po indijskom astrofizičaru Meghandu Sahi koji ju je izveo 1920. godine koristeći statističku fiziku i kvantnu mehaniku. Jednačinu je unapredio Irving Langmur 1923. godine. Jedna od prvih primena jednačine bila je u spektralnoj klasifikaciji zvezda.

Domen primene jednačine[uredi | uredi izvor]

Saha jednačina se može primeniti samo na slabo jonizovane plazme, odnosno za plazme kod kojih su stepeni jonizacije niski. Kod takvih sistema je Debajev radijus veliki i u tom slučaju se može zanemariti ekranirajući Kulonov potencijal između različitih jona ili elektrona. Značajno poboljšanje jednačine se dobija uz elektrostatičku korekciju. Kvantno-mehanički, elektrostatička korekcija se tumači kao uključivanje prekrivanja energetskih nivoa. Jedna od češće korišćenih korekcija je Eker-Krovova korekcija.

Kada je stepen jonizacije veliki, gubi se lokalizacija sistema zbog velikih interakcija i dolazi do otkidanja elektrona sa jona. Visoko-jonizovana stanja nisu stabilna i svaki sudar ih može izvesti iz vezanog stanja.

Izvođenje jednačine[uredi | uredi izvor]

Za dobijanje Saha jednačine polazi se od poznavanja da u termodinamičkoj ravnoteži funkcija slobodne energije F ima minimum po varijaciji broja čestica:

{\frac {\partial F}{\partial N_{\alpha }}}=0.

Slobodna energija se može predstaviti kao zbir doprinosa od idealnog sistema i doprinosa od interakcije. F_id se može predstaviti preko statističke sume Z u kanonskom ansamblu kao:

F_{id}=-kT\ln {Z}.

Kako se na visokim temperaturama sve simetrizovane raspodele svode na Maksvel-Bolcmanovu raspodelu i normalizacioni faktor se na visokim temperaturama svodi na deljenje sa N! za svaku vrstu čestica, to je:

Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\frac {Z_{\alpha }^{N_{\alpha }}}{N_{\alpha }!}},

što se uz korišćenje Stirlingove formule svodi na:

Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\Big (}{\frac {eZ_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}^{N_{\alpha }}.

Ubacivanjem ovog izraza u izraz za idealni deo slobodne energije i nalaženjem varijacije po broju svake od čestica, dobijamo varijaciju za idealni član. Aproksimacija u prvom redu varijacije kada se posmatra samo najveći član je:

\delta F_{id}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}\delta N_{\alpha }.

dok se za varijaciju za interakcioni član može koristiti:

\delta F_{int}=-kT{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha =-1}^{s}e_{\alpha }^{2}\delta {N_{\alpha }}

Tada je izraz za ukupnu uslovnu varijaciju:

\delta F=\delta F_{id}+\delta F_{int}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}{\Big [}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}+{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha }e_{\alpha }^{2}{\Big ]}\delta {N_{\alpha }}.

Korišćenjem uslova da se sumira samo po teškim česticama, a ne i po broju elektrona, kao i da je njihov celokupni broj održan ( $\Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }=0$ ), te da je sistem elektroneutralan ( $\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0$ ), može se formirati jednačina:

\partial F+\mu \Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }+\nu \Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0,

gde su μ i ν Lagranževi množitelji. Kako su sve varijacije uslovno nezavisne, to svi koeficijenti ispred varijacija moraju biti jednaki nuli i odavde se dobijaju vrednosti za Lagranževe množitelje. Za elektrone je α=-1 i odavde se dobija koeficijent ν, a za atome je α=0, te se dobija μ. Uz poznate Lagranževe množitelje, možemo dobiti opšti izraz jednačine za proizvoljni stepen jonizacije i oduzimanjem jednačina za jone stepena jonizacije α i α+1, dobija se:

kT\ln {\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{Z_{\alpha +1}}}{\frac {N_{\alpha +1}}{N_{\alpha }}}{\Big )}-{\frac {(2\alpha +1)e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}-kT\ln {Z_{e}}{N_{e}}=0.

Korišćenjem izraza za Z_e ( $Z_{e}=2V{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}$ ) i da je Z zapravo prozvod translacionog, vibracionog, rotacionog i elektronskog dela, od čega se za dva stepena jonizacije razlikuje samo elektronski deo, te sređivanjem, dobija se konačan oblik jednačine: