Saha jednačina

Saha jednačina ili Saha-Langmur jednačina u fizici plazme je jednačina koja povezuje stepen jonizacije plazme sa njenom temperaturom. Stepen jonizacije plazme je predstavljen kao funkcija temperature, gustine i jonizacione energije atoma. Pomoću ove jednačine može se izraziti odnos broja različitih čestica u plazmi pri datoj temperaturi kada su poznati ravnotežni uslovi, a u sistemu mogu da se vrše čestične transformacije:

${\frac {n_{\alpha +1}n_{e}}{n_{\alpha }}}=2{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}{\frac {Z_{\alpha +1}^{(el)}}{Z_{\alpha }^{(el)}}}e^{{\frac {ee_{\alpha +1}}{4\pi \epsilon _{0}r_{D}}}{\frac {1}{kT}}}.$

Jednačina je dobila naziv po indijskom astrofizičaru Meghandu Sahi koji ju je izveo 1920. godine koristeći statističku fiziku i kvantnu mehaniku. Jednačinu je unapredio Irving Langmur 1923. godine. Jedna od prvih primena jednačine bila je u spektralnoj klasifikaciji zvezda.

Domen primene jednačine

Saha jednačina se može primeniti samo na slabo jonizovane plazme, odnosno za plazme kod kojih su stepeni jonizacije niski. Kod takvih sistema je Debajev radijus veliki i u tom slučaju se može zanemariti ekranirajući Kulonov potencijal između različitih jona ili elektrona. Značajno poboljšanje jednačine se dobija uz elektrostatičku korekciju. Kvantno-mehanički, elektrostatička korekcija se tumači kao uključivanje prekrivanja energetskih nivoa. Jedna od češće korišćenih korekcija je Eker-Krovova korekcija.

Kada je stepen jonizacije veliki, gubi se lokalizacija sistema zbog velikih interakcija i dolazi do otkidanja elektrona sa jona. Visoko-jonizovana stanja nisu stabilna i svaki sudar ih može izvesti iz vezanog stanja.

Izvođenje jednačine

Za dobijanje Saha jednačine polazi se od poznavanja da u termodinamičkoj ravnoteži funkcija slobodne energije F ima minimum po varijaciji broja čestica:

${\frac {\partial F}{\partial N_{\alpha }}}=0.$

Slobodna energija se može predstaviti kao zbir doprinosa od idealnog sistema i doprinosa od interakcije. F_id se može predstaviti preko statističke sume Z u kanonskom ansamblu kao:

$F_{id}=-kT\ln {Z}.$

Kako se na visokim temperaturama sve simetrizovane raspodele svode na Maksvel-Bolcmanovu raspodelu i normalizacioni faktor se na visokim temperaturama svodi na deljenje sa N! za svaku vrstu čestica, to je:

$Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\frac {Z_{\alpha }^{N_{\alpha }}}{N_{\alpha }!}},$

što se uz korišćenje Stirlingove formule svodi na:

$Z=\Pi _{\alpha =-1}^{s}{\Big (}{\frac {eZ_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}^{N_{\alpha }}.$

Ubacivanjem ovog izraza u izraz za idealni deo slobodne energije i nalaženjem varijacije po broju svake od čestica, dobijamo varijaciju za idealni član. Aproksimacija u prvom redu varijacije kada se posmatra samo najveći član je:

$\delta F_{id}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}\delta N_{\alpha }.$

dok se za varijaciju za interakcioni član može koristiti:

$\delta F_{int}=-kT{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha =-1}^{s}e_{\alpha }^{2}\delta {N_{\alpha }}$

Tada je izraz za ukupnu uslovnu varijaciju:

$\delta F=\delta F_{id}+\delta F_{int}=-kT\Sigma _{\alpha =-1}^{s}{\Big [}\ln {{\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{N_{\alpha }}}{\Big )}}+{\frac {1}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}\Sigma _{\alpha }e_{\alpha }^{2}{\Big ]}\delta {N_{\alpha }}.$

Korišćenjem uslova da se sumira samo po teškim česticama, a ne i po broju elektrona, kao i da je njihov celokupni broj održan ($\Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }=0$), te da je sistem elektroneutralan ($\Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0$), može se formirati jednačina:

$\partial F+\mu \Sigma _{\alpha =0}^{s}\delta N_{\alpha }+\nu \Sigma _{\alpha =-1}^{s}\alpha \delta N_{\alpha }=0,$

gde su μ i ν Lagranževi množitelji. Kako su sve varijacije uslovno nezavisne, to svi koeficijenti ispred varijacija moraju biti jednaki nuli i odavde se dobijaju vrednosti za Lagranževe množitelje. Za elektrone je α=-1 i odavde se dobija koeficijent ν, a za atome je α=0, te se dobija μ. Uz poznate Lagranževe množitelje, možemo dobiti opšti izraz jednačine za proizvoljni stepen jonizacije i oduzimanjem jednačina za jone stepena jonizacije α i α+1, dobija se:

$kT\ln {\Big (}{\frac {Z_{\alpha }}{Z_{\alpha +1}}}{\frac {N_{\alpha +1}}{N_{\alpha }}}{\Big )}-{\frac {(2\alpha +1)e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r_{D}}}-kT\ln {Z_{e}}{N_{e}}=0.$

Korišćenjem izraza za Z_e ($Z_{e}=2V{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}$) i da je Z zapravo prozvod translacionog, vibracionog, rotacionog i elektronskog dela, od čega se za dva stepena jonizacije razlikuje samo elektronski deo, te sređivanjem, dobija se konačan oblik jednačine:

${\frac {n_{\alpha +1}n_{e}}{n_{\alpha }}}=2{\Big (}{\frac {2\pi m_{e}kT}{h^{2}}}{\Big )}^{\frac {3}{2}}{\frac {Z_{\alpha +1}^{(el)}}{Z_{\alpha }^{(el)}}}e^{{\frac {ee_{\alpha +1}}{4\pi \epsilon _{0}r_{D}}}{\frac {1}{kT}}}.$

Vidi još

• Spektralni tipovi zvezda

Literatura

• Milić, Božidar (1989). Osnova fizike gasne plazme. Beograd: Građevinska knjiga. str. 57—61. ISBN 978-86-395-0129-7.