Surjektivno preslikavanje

U matematici, za funkciju f se kaže da je surjektivna ako njene vrednosti ispunjavaju njen ceo kodomen; to jest, za svako y u kodomenu, postoji bar jedno x u domenu, takvo da je f(x) = y. Surjektivna funkcija se naziva surjekcijom, i takođe se naziva na (funkcijom).

Primeri i kontraprimeri

Za svaki skup X, funkcija identiteta id_X na X je surjektivna.
Funkcija f: 'R → R' definisana kao f(x) = 2x + 1 je surjektivna, jer za svaki realan broj y postoji x, takvo da je f(x) = y.
Prirodni logaritam ln: (0,+∞) → R je surjekcija.
Funkcija g: 'R → R' definisana kao g(x) = x² nije surjektivna, jer (na primer) ne postoji realan broj x takav da x² = −1. Međutim, ako promenimo kodomen u [0,+∞), tada g postaje surjektivna.
Funkcija f: Z → {0,1,2,3}' definisana kao f(x) = x mod' 4 je surjektivna.

Svojstva

Funkcija f: X → Y je surjektvina ako i samo ako postoji funkcija g: Y → X takva da je f o g jednako funkciji identiteta na Y. (Ovaj iskaz je ekvivalentan aksiomi izbora.)
Ako su f i g obe surjekcije, tada je f o g surjekcija.
Ako je f o g surjekcija, tada je f surjekcija (ali g ne mora biti).
f: X → Y je surjekcija ako i samo ako, za bilo koje funkcije g,h:Y → Z, kad god je g o f = h o f, tada g = h.
Ako je f: X → Y surjektivna, i B je podskup od Y, tada f(f⁻¹(B)) = B. Stoga, B se može dobiti iz f⁻¹(B).
Svaka funkcija h: X → Z može biti razložena kao h = g o f za odgovarajuću surjekciju f i injekciju g. Ova dekompozicija je jedinstvena do na izomorfizam, i f se može posmatrati kao funkcija sa istim vrednostima kao h ali joj je kodomen ograničen na opseg h(W) od h, što je samo podskup kodomena Z od h.
Ako je f: X → Y surjektivna funkcija, onda X ima najmanje onoliko elemenata kao Y, u smislu kardinalnih brojeva.
Ako su i X i Y konačni skupovi, sa istim brojem elemenata, tada je f : X → Y surjekcija ako i samo ako je f injekcija.

Vidi još