Teorija brojeva

Teorija brojeva je grana matematike koja se bavi osobinama brojeva, posebno celih, kao i širih klasa problema koji proističu iz ove studije.

Izraz aritmetika se takođe koristi za teoriju brojeva. Ovo je stariji izraz koji više nije popularan koliko je nekada bio. Teoriju brojeva su nekada zvali viša aritmetika, ali i ovaj izraz više nije u upotrebi. Pa ipak, izraz aritmetika se i dalje javlja u imenima nekih matematičkih oblasti (aritmetičke funkcije, aritmetika eliptičkih krivih, osnovna teorema aritmetike). Ovo smisao izraza aritmetika ne treba mešati ni sa elementarnom aritmetikom, niti sa granom logike koja proučava Peanovu aritmetiku kao formalni sistem. Matematičari koji se bave teorijom brojeva se nazivaju teoretičari brojeva.

Kada se prirodni brojevi zapišu u spirali i obeleže prosti brojevi, dobija se interesantna i ne potpuno objašnjena šema, koja se zove Ulamova spirala.

Oblasti

Elementarna teorija brojeva

U elementarnoj teoriji brojeva, se proučavaju celi brojevi bez korišćenja tehnika iz drugih oblasti matematike. Ovde spadaju pitanja deljivosti, korišćenja Euklidovog algoritma za izračunavanje najvećeg zajedničkog delioca, faktorizacije celih brojeva u proste brojeve, proučavanje savršenih brojeva i kongruencija. Nekoliko važnih otkrića iz ove oblasti su Mala Fermaova teorema, Ojlerova teorema, Kineska teorema o ostatku i zakon kvadratnog reciprociteta. Svojstva multiplikativnih funkcija poput Mebijusove funkcije, Ojlerove fi funkcije, nizova celih brojeva, faktorijela, i Fibonačijevih brojeva takođe spadaju u ovu oblast.

Mnoga pitanja iz oblasti teorije brojeva se mogu iskazati u terminima elementarne teorije brojeva, ali mnoga od njih zahtevaju vrlo duboko razmatranje i nove pristupe koji su izvan domena elementarne teorije brojeva. Među ovakvim primerima su:

• Goldbahova pretpostavka koja se tiče izražavanja parnih brojeva kao zbirova dva prosta broja.
• Katalanova pretpostavka (sada Mihaileskuova teorema) koja se tiče uzastopnih stepena celih brojeva.
• Pretpostavka o prostim blizancima, koja govori o beskonačnosti parova prostih brojeva.
• Kolacova pretpostavka koja se tiče proste iteracije.
• Poslednja Fermaova teorema (izrečena 1637, ali dokazana tek 1994) koja tvrdi da je nemoguće naći cele brojeve različite od nule x, y, z, takve da $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ za neko celobrojno n veće od 2.

Za teoriju diofantskih jednačina je čak pokazano da je neodlučiva (vidi deseti Hilbertov problem).

Analitička teorija brojeva

Analitička teorija brojeva koristi tehniku analize i kompleksne analize za rešavanje problema vezanih za cele brojeve. Primer su teorema o prostim brojevima i povezana Rimanova hipoteza. Takođe, za Voringov problem (predstavljanje datog celog broja kao zbira kvadrata, kubova itd.), konjekturu o prostim blizancima (nalaženje beskonačno mnogo parova prostih brojeva čija je razlika 2) i Goldbahovu konjekturu (zapisivanje parnih brojeva kao zbira dva prosta broja) se koriste analitički metodi. Dokaz transcedentnosti matematičkih konstanti, kao što su pi ili e, takođe spada u analitičku teoriju brojeva. Iako može izgledati da iskazi o transcendentnim brojevima ne spadaju u proučavanje celih brojeva, oni u stvari predstavljaju proučavanje mogućih vrednosti polinoma sa celobrojnim koeficijentima, izračunatim recimo u e; oni su takođe u bliskoj vezi sa poljem diofantske aproksimacije, gde se istražuje koliko dobro se dati realan broj može aproksimirati racionalnim.

Algebarska teorija brojeva

U algebarskoj teoriji brojeva, koncept broja se proširuje na algebarske brojeve koji su nule polinoma sa racionalnim koeficijentima. Ovi domeni sadrže elemente analogne celim brojevima, takozvane algebarske cele brojeve. Ovde poznata svojstva celih brojeva (poput jedinstvene faktorizacije) ne moraju da važe. Pomoću teorije Galoa, kohomologije grupe, klasne teorije polja, predstavljanja grupa i L-funkcija je moguće u nekom obimu povratiti to uređenje za ovu novu klasu brojeva.

Mnogim pitanjima iz teorije brojeva se najlakše prilazi tako što se proučavaju po modulu p za sve proste p. Ovo se naziva lokalizacijom i dovodi do konstrukcije p-adnih brojeva; ova oblast se naziva lokalnom analizom i potiče iz algebarske teorije brojeva.

Geometrijska teorija brojeva

Geometrijska teorija brojeva (tradicionalno zvana geometrijom brojeva) uključuje neke osnovne geometrijske pojmove u pitanja teorije brojeva. Polazi od teoreme Minkovskog, a vodi do bazičnih dokaza konačnosti klasnog broja i Dirihleove jedinične teoreme.

Kombinatorna teorija brojeva

Kombinatorna teorija brojeva se bavi problemima teorije brojeva koji uključuju kombinatorne ideje u svojim formulacijama ili rešenjima. Pal Erdoš je glavni osnivač ove grane teorije brojeva. Tipične teme ove oblasti uključuju pokrivački sistem, problem nulte sume, i aritmetičke progresije u skupu celih brojeva. U ovoj oblasti su korisne algebarske i analitičke metode.

Računarska teorija brojeva

Računarska teorija brojeva proučava algoritme važne za teoriju brojeva. Brzi algoritmi za testiranje prostosti broja i faktorizaciju celih brojeva imaju važne primene u kriptografiji.

Literatura

• Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 978-0-387-90163-3. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Apostol, Tom M. „An Introduction to the Theory of Numbers”. (Review of Hardy & Wright.) Mathematical Reviews (MathSciNet) MR0568909. American Mathematical Society. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Becker, Oskar (1936). „Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente”. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. Abteilung B:Studien. Berlin: J. Springer Verlag. 3: 533—53. 
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C. (1991) [1968]. A History of Mathematics (2nd izd.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.  1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Colebrooke, Henry Thomas (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. London: J. Murray. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L. (2000). Multiplicative Number Theory. Graduate texts in mathematics. 74 (revised 3rd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-95097-6. 
• Edwards, Harold M. (1983). „Euler and Quadratic Reciprocity”. Mathematics Magazine. Mathematical Association of America. 56 (5): 285—291. JSTOR 2690368. doi:10.2307/2690368. 
• Edwards, Harold M. (2000) [1977]. Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 50 (reprint of 1977 izd.). Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95002-0. 
• Fermat, Pierre de (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Friberg, Jöran (1981). „Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations”. Historia Mathematica. Elsevier. 8 (3): 277—318. doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0. 
• von Fritz, Kurt (2004). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Ur.: Christianidis, J. Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer). ISBN 978-1-4020-0081-2. 
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.) (1966) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae. Springer. ISBN 978-0-387-96254-2. 
• Goldfeld, Dorian M. (2003). „Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective” (PDF). Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert (2007). „A book in search of a discipline”. Ur.: Goldstein, C.; Schappacher, N.; Schwermer, Joachim. The Shaping of Arithmetic after Gauss' "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer. str. 3—66. ISBN 978-3-540-20441-1. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Granville, Andrew (2008). „Analytic number theory”. Ur.: Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11880-2. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Porphyry; Guthrie, K. S. (trans.) (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press. 
• Guthrie, Kenneth Sylvan (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press. ISBN 978-0-933999-51-0. 
• Hardy, Godfrey Harold; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers (Sixth izd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. 
• Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Hopkins, J. F. P. (1990). „Geographical and Navigational Literature”. Ur.: Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. The Cambridge history of Arabic literature. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-32763-3. 
• Huffman, Carl A. (08. 08. 2011). Zalta, Edward N., ur. „Pythagoras”. Stanford Encyclopaedia of Philosophy (Fall 2011 izd.). Pristupljeno 07. 02. 2012. 
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic Number Theory. American Mathematical Society Colloquium Publications. 53. Providence, RI,: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3633-0. 
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.) (1871). Theaetetus. 
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China (revised izd.). Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-238-696-0. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd izd.). Lexington, VA: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950. 
• Mahoney, M. S. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665 (Reprint, 2nd izd.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-03666-3. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Milne, J. S. (2014). „Algebraic Number Theory”. 
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory,. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84903-6. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02090-7. 
• Mumford, David (2010). „Mathematics in India: reviewed by David Mumford” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 57 (3): 387. ISSN 1088-9477. 
• Neugebauer, Otto E. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (corrected reprint of the 1957 izd.). New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Pristupljeno 02. 03. 2016. 
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945). Mathematical Cuneiform Texts. American Oriental Series. 29. American Oriental Society etc. 
• O'Grady, Patricia (2004). „Thales of Miletus”. The Internet Encyclopaedia of Philosophy. Pristupljeno 07. 02. 2012. 
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq (1968). „The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq”. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 26. 
• Pingree, D.; al-Fazari (1970). „The Fragments of the Works of al-Fazari”. Journal of Near Eastern Studies. University of Chicago Press. 28. 
• Plofker, Kim (2008). Mathematics in India. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12067-6. 
• Qian, Baocong, ur. (1963). Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics). Beijing: Zhonghua shuju. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Rashed, Roshdi (1980). „Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson”. Archive for History of Exact Sciences. 22 (4): 305—321. doi:10.1007/BF00717654. 
• Robson, Eleanor (2001). „Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322” (PDF). Historia Mathematica. Elsevier. 28 (28): 167—206. doi:10.1006/hmat.2001.2317. Arhivirano iz originala (PDF) 21. 10. 2014. g. 
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. London: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A Course in Arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7. 
• Smith, D. E. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications. 
• Tannery, Paul; Henry, Charles; Fermat, Pierre de (1891). Oeuvres de Fermat. (4 Vols.). Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils.  Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Iamblichus; Taylor, Thomas (1818). Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. London: J. M. Watkins. Arhivirano iz originala 21. 07. 2011. g. 
• Truesdell, C. A. (1984). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ur.: Hewlett, John. Leonard Euler, Elements of Algebra (reprint of 1840 5th izd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96014-2. 
• Truesdell, C. A. (2007). „Leonard Euler, Supreme Geometer”. Ur.: Dunham, William. The Genius of Euler: reflections on his life and work. Volume 2 of MAA tercentenary Euler celebration. New York: Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-558-4. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Varadarajan, V. S. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3580-7. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Vardi, Ilan (1998). „Archimedes' Cattle Problem” (PDF). American Mathematical Monthly. 105 (4): 305—319. doi:10.2307/2589706. 
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans) (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2. New York: Oxford University Press. 
• Weil, André (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3141-3. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers (rev. by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, 6th izd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Pristupljeno 02. 03. 2016. 
• Vinogradov, I. M. (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reprint of the 1954 izd.). Mineola, NY: Dover Publications. 
• Niven, Ivan M.; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (reprint of the 5th edition 1991 izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Rosen, Kenneth H. (2010). Elementary Number Theory (6th izd.). Pearson Education. ISBN 978-0-321-71775-7. Pristupljeno 28. 02. 2016. 
• Borevich, A. I.; Shafarevich, Igor R. (1966). Number theory. Pure and Applied Mathematics. 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803. 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic. Graduate texts in mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7. 

Spoljašnje veze

• Number Theory Web