Frudov broj

Vilijams Frud (Vilijams Frud), engleski inženjer, hidrodinamičar i konstruktor brodova.

Frudov broj je bezdimenzijska veličina. Može se smatrati da je hidrodinamički ekvivalent Mahovom broju, a odražava sličnost kretanja u prostoru dodira dva fluida različite gustine. Fizički predstavlja odnos inercijalnih i gravitacionih sila. Najznačajnija mu je upotreba za uspostavljanje sličnih uslova kretanja plovila na vodi. Dobio je ime po engleskom inženjeru, istraživaču u domenu hidrodinamike, Vilijamsu Frudu.

Korišćene fizičke veličine

Osnovne
- $\ l$ je dužina [m]
- $\ m$ je masa [kg]
- $\ t$ je vreme [s]
Izvedene
- ${\mathbf {\mathrm {v} } }$ je brzina [m/s]
- $\mathbf {c}$ je generisana brzina početnog hidrodinamičkog talasa [m/s]
- $\mathbf {c_{w}}$ je rezultujuća brzina hidrodinamičkog talasa [m/s]
- $\ g$ ubrzanje zemljine teže (gravitacija) [m/s²]
- $\ b$ najveća okvašena širina [m]
- $\ L$ najveća okvašena dužina [m]

Fenomen

U prirodi je rasprostranjen primer popune određenog prostora s vazduhom i vodom, to jest zajedničkog smeštaja dva fluida različite gustine. Primeri su, za slučaj voda-vazduh, mora, reke i jezera. Usled različite specifične težine vazduha i vode, pod uticajem zemljine teže, je razgraničen njihov smeštaj u prostoru. Razgraničenje predstavlja njihovu, međusobnu dodirnu površinu.

Za slučaj kretanja tela kroz prostor dodira dvaju fluida, uslovna površina tela se poklapa s dodirnom površinom fluida (u navedenom primeru, vazduha i vode). Pri kretanju se, međusobno dodirna površina fluida, menja po obliku u strujnom polju oko tela, kao na slici pri kretanju čamca.

Ovom kretanju se suprotstavlja sila, čija jedna komponenta zavisi od oblika poremećene dodirne površine fluida, u neposrednoj blizini tela.

Primeri ovakvog kretanja su plovci hidroaviona, amfibijsko vozilo, leteći čamac (pri poletanju i sletanju na vodu), hidrogliser, brod itd.^[1]

Definicija

Parametri talasa

Brzina i oblik kretanja talasa

U hidrodinamičkim kanalima se ispituje i meri uticaj oblika talasa na parametre kretanja tela. Talas se generiše u dodiru fluida s telom, koje se kreće po površini dodira dvaju fluida različite gustine. Na osnovu iskustva i ovakvih merenja je zaključeno da komponenta sile suprostavljanja tome kretanju, zavisi od oblika talasa, po amplitudi, periodu i učestanosti (ilustracija talasa na slici desno). Talas ima karakteristike oscilatornog kretanja, definisanog s dužinom λ m, periodom T s i s talasnom brzinom c = λ/T m/s.

Merenja se realizuju u hidrodinamičkim kanalima, za kretanje određenog tela, s razlitim brzinama i za različite veličine modela, s variranjem razmere.^[2]

Bezdimenzijska analiza

Imajući u vidu, da parametri talasa zavise od ubrzanja zemljine teže, te i ta komponenta sile suprostavljanja kretanju, odnosno njen bezdimenzijski koeficijent zavisi od ubrzanja g.

U aerodinamici postoje isto tako primeri gde na rezultate merenja utiče zemljino ubrzanje g. To je pri ispitivanju kovita u vertikalnom aerotunelu.

Problem bezdimenijske analize je isti kao u Rejnoldsovom broju.

Hidrodinamička sila se može napisati, u prethodnom kontekstu za nestišljivo i neviskozno strujanje, kao funkcija:^[3]

C_{F}=f\left(\rho ,\mathbf {\mathrm {v} } ,l,g,\kappa ,\alpha ,\beta \right)

Gde su: κ oblik aerotela, α napadni ugao i β bočni ugao.

Prethodna funkcija se može razviti u red:^[4]

C_{F}=\sum A\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Primenom bezdimenzijske analize, mora se postići indentičnost dimenzija leve i desne strane jednačine:

Dim\left[C_{F}\right]\equiv Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\right]

Koeficijent hirodinamičke sile C_F nema dimenziju, te i i odnos veličina na desnoj strani jednačine mora biti bez dimenzije. Znači, obe strane jednačine su bez dimenzije:

Dim\left[C_{F}\right]=1\quad \Rightarrow \quad Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\right]=1

Iz ovoga uslova se određuju eksponenti uticajnih fizičkih veličina, u pretpostavljenoj funkciji.

Dim\left[C_{F}\right]=1\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv \left(l^{-3}m\right)^{x}\left(l\,t^{-1}\right)^{y}l^{z}\left(lt^{-2}\right)^{p}\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv l^{-3x+y+z+p}m^{x}t^{-y-2p}\quad \Rightarrow

0=-3x+y+z+p;\quad 0=x;\quad 0=y+2p

Zamenom rešenja ovog sistema jednačina, se dobija:

\,x=\,0;\quad \,y=\,-2p;\quad \,z=\,p\quad \Rightarrow \quad C_{F}=\sum A\left({\frac {lg}{\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }}\right)^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Pošto su A, p, q, r i s potpuno proizvoljne vrednosti, proizilazi da je:

C_{F}=f\left({\frac {lg}{\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }},\,\kappa ,\,\alpha ,\,\beta \right)

Gde se dobijeni izraz bez dimenzije naziva Frudov broj, a označava se:

F_{r}={\frac {\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{lg}}

Imajući u vidu činjenicu da je Frudov broj bez dimenzije, može se pristupiti matematičkoj postavci:

Dim\left[F_{r}\right]\equiv Dim\left[{\frac {\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{lg}}\right]=1\quad \Rightarrow \quad \,Dim\left[F_{r}\right]\equiv Dim\left[{\frac {\mathbf {\mathrm {v} } }{\sqrt {lg}}}\right]=1

Pošto u prethodnom izrazu broioc ima dimenziju brzine (m/s), to ima i imenioc (pošto je količnik njihovih dimenzija jednak jedinici), a ima i vezu s talasom, to imenioc predstavlja talasnu brzinu, c m/s.

U obrazloženju gornje funkcije C_F, je naglašena činjenica da je eksponent p, nad izrazom za Frudov broj, bilo koji proizvoljan broj. Saglasno tome se može smatrati da taj proizvoljni broj u sebi sadrži i kvadratni koren, a da se pri tome ne menja smisao funkcije.

Na osnovu prethodnog, može se smatrati da je Frudov broj odnos brzine tela i brzine prostiranja talasa, koji telo inicijalno generiše u fluidu (npr. u vodi).^[5]

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {lg}}}={\frac {\mathbf {v} }{\mathbf {c} }}\quad \Rightarrow \quad \,\mathbf {c} ={\sqrt {lg}}={\frac {\lambda }{T}}

Upotreba

Primena kod plovila

Za plovila:brodove, glisere, čamce itd. je Frudov broj u obliku:

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {gL}}}

Gde je L usvojena najveća dužina okvašenog dela plovila, u liniji dodira vazduha i vode.

Npr. brod, pri kretanju, generiše talase s približnom talasnom dužinom kao i vrednost za L.

Teoretski gledano, strujanje oko broda se deli na kategorije:^[6]

pod-kritično F_r<1, brzina broda je manja od brzine raspostiranja talasa
kritično F_r=1, brzina broda je jednaka brzini rasprostiranja talasa
nad-kritično F_r>1, brzina broda je veća od brzine rasprostiranja talasa

U grupu podkritičnih strujanja spadaju velike brzine brodova koji plove u dubokim vodama, gde se neometano razvijaju divergentni talasi.

Kroz kritični režimi strujanja su u opsegu Frudovih brojeva:

F_{r}=0,85\div 1,1

Rezultujući talas se prostire rezultujućom brzinom od:

\mathbf {c_{w}} ={\sqrt {gh}}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {\frac {gL}{2\pi }}}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {gL}}={\mathbf {c_{w}} }{\sqrt {2\pi }}\ \quad \Rightarrow \quad F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\mathbf {c_{w}} {\sqrt {2\pi }}}}

Gde je: $h={\frac {L}{2\pi }}$

U slučaju izjednačenja:

\mathbf {\mathbf {v} } =\mathbf {c_{w}} \quad \Rightarrow \quad F_{r}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\quad \Rightarrow \quad F_{r}\approx 0,4

Kada brzina broda pretekne vrednost ${\sqrt {\frac {gL}{2\pi }}}$ , onda pretiče i brzinu rezultujućeg talasa i počinje da glisira. U tome slučaju je Frudov broj:

F_{r}\geqq 0,4

Tada brod glisira na površini vode, uporedivo kao i avion kada leti nadzvučnom brzinom.

Pri ovim uslovima, naglo opadne sila otpora od talasa, koja se suprotstavlja kretanju plovila. Kod aviona je inverzni slučaj, otpor naglo poraste u nadzvučnom letu.

To je sasvim objašnjivo, s jasnom argumentacijom fizikalnosti. U nadzvučnom letu je avion izložen uticaju snažnih udarnih talasa, a posledično i skoku otpora.

Plovilo pri glisiranju se oslobađa od talasa vode i od njihovog izazivanja komponente sile otpora. Otpor, kretanju plovila se svodi, samo na komponente sile otpora od vazduha i od trenja usled glisiranja po površini vode.

Da bi se glisiranje ranije izazvalo i podržalo, na hidrogliser se ugrađuju hidrokrila, s kojima se stvara hidrouzgon i plovilo se podiže u poziciju glisiranja, još na manjim brizinama. Ova se tehnologija redovno koristi kod hidroglisera za brže i lakše uspostvljanje režima glisiranja.

Frudov broj je koristan za upoređenje i analizu uticaja veličine trupa na otpor broda.^[7]

Talasi u plitkoj vodi

Za talase u plitkoj vodi, kao što su talasi plime, prelivi preko brana i vodopada je Frudov broj:

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {gd}}}

Gde je d širina poprečnog preseka strujnog polja, na koji je tok uprošćeno sveden.

Ovde se isto za vrednosti Frudovog broja F_r < 1 se koristi naziv pod-kritični protok, za F_r = 1, kritični protok i F_r > 1 nad-kritični protok.

Vidi još

Reference

^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 94, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ Chanson, Hubert (2004), Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction (2^nd izd.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9 ,. str. 650.
^ „Bezdimenzijona analiza”. Arhivirano iz originala 18. 04. 2009. g. Pristupljeno 29. 4. 2013.
^ Hidrodinamika, IV izdanje,str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76,98, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ „Izvor,. str. 6” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 27. 09. 2007. g. Pristupljeno 29. 4. 2013.
^ Chanson (2004), p. xxvii.

Korišćeni izvori

Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi i drugi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
(језик: енглески)- {Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. ISBN 978-968-13-1327-2.}-
(jezik: engleski) Mott, Robert L. Mecánica de Fluidos. Sexta Edición. Editorial Pearson. México, 2006.

Spoljašnje veze

[1] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 94, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[2] Chanson, Hubert (2004), Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction (2^nd izd.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9 ,. str. 650.

[3] „Bezdimenzijona analiza”. Arhivirano iz originala 18. 04. 2009. g. Pristupljeno 29. 4. 2013.

[4] Hidrodinamika, IV izdanje,str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[5] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76,98, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[6] „Izvor,. str. 6” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 27. 09. 2007. g. Pristupljeno 29. 4. 2013.

[7] Chanson (2004), p. xxvii.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]