Фрудов број

Вилијамс Фруд (Вилијамс Фруд), енглески инжењер, хидродинамичар и конструктор бродова.

Фрудов број је бездимензијска величина. Може се сматрати да је хидродинамички еквивалент Маховом броју, а одражава сличност кретања у простору додира два флуида различите густине. Физички представља однос инерцијалних и гравитационих сила. Најзначајнија му је употреба за успостављање сличних услова кретања пловила на води. Добио је име по енглеском инжењеру, истраживачу у домену хидродинамике, Вилијамсу Фруду.

Коришћене физичке величине

Основне
- $\ l$ је дужина [m]
- $\ m$ је маса [kg]
- $\ t$ је време [s]
Изведене
- ${\mathbf {\mathrm {v} } }$ је брзина [m/s]
- $\mathbf {c}$ је генерисана брзина почетног хидродинамичког таласа [m/s]
- $\mathbf {c_{w}}$ је резултујућа брзина хидродинамичког таласа [m/s]
- $\ g$ убрзање земљине теже (гравитација) [m/s²]
- $\ b$ највећа оквашена ширина [m]
- $\ L$ највећа оквашена дужина [m]

Феномен

У природи је распрострањен пример попуне одређеног простора с ваздухом и водом, то јест заједничког смештаја два флуида различите густине. Примери су, за случај вода-ваздух, мора, реке и језера. Услед различите специфичне тежине ваздуха и воде, под утицајем земљине теже, је разграничен њихов смештај у простору. Разграничење представља њихову, међусобну додирну површину.

За случај кретања тела кроз простор додира двају флуида, условна површина тела се поклапа с додирном површином флуида (у наведеном примеру, ваздуха и воде). При кретању се, међусобно додирна површина флуида, мења по облику у струјном пољу око тела, као на слици при кретању чамца.

Овом кретању се супротставља сила, чија једна компонента зависи од облика поремећене додирне површине флуида, у непосредној близини тела.

Примери оваквог кретања су пловци хидроавиона, амфибијско возило, летећи чамац (при полетању и слетању на воду), хидроглисер, брод итд.^[1]

Дефиниција

Параметри таласа

Брзина и облик кретања таласа

У хидродинамичким каналима се испитује и мери утицај облика таласа на параметре кретања тела. Талас се генерише у додиру флуида с телом, које се креће по површини додира двају флуида различите густине. На основу искуства и оваквих мерења је закључено да компонента силе супростављања томе кретању, зависи од облика таласа, по амплитуди, периоду и учестаности (илустрација таласа на слици десно). Талас има карактеристике осцилаторног кретања, дефинисаног с дужином λ m, периодом T s и с таласном брзином c = λ/T m/s.

Мерења се реализују у хидродинамичким каналима, за кретање одређеног тела, с разлитим брзинама и за различите величине модела, с варирањем размере.^[2]

Бездимензијска анализа

Имајући у виду, да параметри таласа зависе од убрзања земљине теже, те и та компонента силе супростављања кретању, односно њен бездимензијски коефицијент зависи од убрзања g.

У аеродинамици постоје исто тако примери где на резултате мерења утиче земљино убрзање g. То је при испитивању ковита у вертикалном аеротунелу.

Проблем бездименијске анализе је исти као у Рејнолдсовом броју.

Хидродинамичка сила се може написати, у претходном контексту за нестишљиво и невискозно струјање, као функција:^[3]

C_{F}=f\left(\rho ,\mathbf {\mathrm {v} } ,l,g,\kappa ,\alpha ,\beta \right)

Где су: κ облик аеротела, α нападни угао и β бочни угао.

Претходна функција се може развити у ред:^[4]

C_{F}=\sum A\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Применом бездимензијске анализе, мора се постићи индентичност димензија леве и десне стране једначине:

Dim\left[C_{F}\right]\equiv Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\right]

Коефицијент хиродинамичке силе C_F нема димензију, те и и однос величина на десној страни једначине мора бити без димензије. Значи, обе стране једначине су без димензије:

Dim\left[C_{F}\right]=1\quad \Rightarrow \quad Dim\left[\rho ^{x}{\mathbf {\mathrm {v} } }^{y}l^{z}g^{p}\right]=1

Из овога услова се одређују експоненти утицајних физичких величина, у претпостављеној функцији.

Dim\left[C_{F}\right]=1\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv \left(l^{-3}m\right)^{x}\left(l\,t^{-1}\right)^{y}l^{z}\left(lt^{-2}\right)^{p}\Rightarrow l^{0}m^{0}t^{0}\equiv l^{-3x+y+z+p}m^{x}t^{-y-2p}\quad \Rightarrow

0=-3x+y+z+p;\quad 0=x;\quad 0=y+2p

Заменом решења овог система једначина, се добија:

\,x=\,0;\quad \,y=\,-2p;\quad \,z=\,p\quad \Rightarrow \quad C_{F}=\sum A\left({\frac {lg}{\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }}\right)^{p}\kappa ^{q}\alpha ^{r}\beta ^{s}

Пошто су A, p, q, r и s потпуно произвољне вредности, произилази да је:

C_{F}=f\left({\frac {lg}{\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }},\,\kappa ,\,\alpha ,\,\beta \right)

Где се добијени израз без димензије назива Фрудов број, а означава се:

F_{r}={\frac {\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{lg}}

Имајући у виду чињеницу да је Фрудов број без димензије, може се приступити математичкој поставци:

Dim\left[F_{r}\right]\equiv Dim\left[{\frac {\mathbf {\mathrm {v^{2}} } }{lg}}\right]=1\quad \Rightarrow \quad \,Dim\left[F_{r}\right]\equiv Dim\left[{\frac {\mathbf {\mathrm {v} } }{\sqrt {lg}}}\right]=1

Пошто у претходном изразу броиоц има димензију брзине (m/s), то има и имениоц (пошто је количник њихових димензија једнак јединици), а има и везу с таласом, то имениоц представља таласну брзину, c m/s.

У образложењу горње функције C_F, је наглашена чињеница да је експонент p, над изразом за Фрудов број, било који произвољан број. Сагласно томе се може сматрати да тај произвољни број у себи садржи и квадратни корен, а да се при томе не мења смисао функције.

На основу претходног, може се сматрати да је Фрудов број однос брзине тела и брзине простирања таласа, који тело иницијално генерише у флуиду (нпр. у води).^[5]

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {lg}}}={\frac {\mathbf {v} }{\mathbf {c} }}\quad \Rightarrow \quad \,\mathbf {c} ={\sqrt {lg}}={\frac {\lambda }{T}}

Употреба

Примена код пловила

За пловила:бродове, глисере, чамце итд. је Фрудов број у облику:

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {gL}}}

Где је L усвојена највећа дужина оквашеног дела пловила, у линији додира ваздуха и воде.

Нпр. брод, при кретању, генерише таласе с приближном таласном дужином као и вредност за L.

Теоретски гледано, струјање око брода се дели на категорије:^[6]

под-критично F_r<1, брзина брода је мања од брзине распостирања таласа
критично F_r=1, брзина брода је једнака брзини распростирања таласа
над-критично F_r>1, брзина брода је већа од брзине распростирања таласа

У групу подкритичних струјања спадају велике брзине бродова који плове у дубоким водама, где се неометано развијају дивергентни таласи.

Кроз критични режими струјања су у опсегу Фрудових бројева:

F_{r}=0,85\div 1,1

Резултујући талас се простире резултујућом брзином од:

\mathbf {c_{w}} ={\sqrt {gh}}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {\frac {gL}{2\pi }}}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {gL}}={\mathbf {c_{w}} }{\sqrt {2\pi }}\ \quad \Rightarrow \quad F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\mathbf {c_{w}} {\sqrt {2\pi }}}}

Где је: $h={\frac {L}{2\pi }}$

У случају изједначења:

\mathbf {\mathbf {v} } =\mathbf {c_{w}} \quad \Rightarrow \quad F_{r}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\quad \Rightarrow \quad F_{r}\approx 0,4

Када брзина брода претекне вредност ${\sqrt {\frac {gL}{2\pi }}}$ , онда претиче и брзину резултујућег таласа и почиње да глисира. У томе случају је Фрудов број:

F_{r}\geqq 0,4

Тада брод глисира на површини воде, упоредиво као и авион када лети надзвучном брзином.

При овим условима, нагло опадне сила отпора од таласа, која се супротставља кретању пловила. Код авиона је инверзни случај, отпор нагло порасте у надзвучном лету.

То је сасвим објашњиво, с јасном аргументацијом физикалности. У надзвучном лету је авион изложен утицају снажних ударних таласа, а последично и скоку отпора.

Пловило при глисирању се ослобађа од таласа воде и од њиховог изазивања компоненте силе отпора. Отпор, кретању пловила се своди, само на компоненте силе отпора од ваздуха и од трења услед глисирања по површини воде.

Да би се глисирање раније изазвало и подржало, на хидроглисер се уграђују хидрокрила, с којима се ствара хидроузгон и пловило се подиже у позицију глисирања, још на мањим бризинама. Ова се технологија редовно користи код хидроглисера за брже и лакше успоствљање режима глисирања.

Фрудов број је користан за упоређење и анализу утицаја величине трупа на отпор брода.^[7]

Таласи у плиткој води

За таласе у плиткој води, као што су таласи плиме, преливи преко брана и водопада је Фрудов број:

F_{r}={\frac {\mathbf {v} }{\sqrt {gd}}}

Где је d ширина попречног пресека струјног поља, на који је ток упрошћено сведен.

Овде се исто за вредности Фрудовог броја F_r < 1 се користи назив под-критични проток, за F_r = 1, критични проток и F_r > 1 над-критични проток.

Види још

Референце

^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 94, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ Chanson, Hubert (2004), Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction (2^nd изд.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9 ,. стр. 650.
^ „Бездимензијона анализа”. Архивирано из оригинала 18. 04. 2009. г. Приступљено 29. 4. 2013.
^ Hidrodinamika, IV izdanje,str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak
^ Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76,98, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
^ „Извор,. стр. 6” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 27. 09. 2007. г. Приступљено 29. 4. 2013.
^ Chanson (2004), p. xxvii.

Коришћени извори

Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi i drugi deo, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.
(језик: енглески)- {Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. ISBN 978-968-13-1327-2.}-
(језик: енглески) Mott, Robert L. Mecánica de Fluidos. Sexta Edición. Editorial Pearson. México, 2006.

Спољашње везе

[1] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 94, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[2] Chanson, Hubert (2004), Hydraulics of Open Channel Flow: An Introduction (2^nd изд.), Butterworth–Heinemann, ISBN 978-0-7506-5978-9 ,. стр. 650.

[3] „Бездимензијона анализа”. Архивирано из оригинала 18. 04. 2009. г. Приступљено 29. 4. 2013.

[4] Hidrodinamika, IV izdanje,str.1, Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2005.g., Svetislav M Čantrak

[5] Osnovi aerodinamičkih konstrukcija, prvi deo, pp. 76,98, Naučna knjiga, Beograd, 1950.g., Prof. univerziteta Miroslav Dr Nenadović dipl. ing.

[6] „Извор,. стр. 6” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 27. 09. 2007. г. Приступљено 29. 4. 2013.

[7] Chanson (2004), p. xxvii.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]