Helmholcova teorema

Helmholcova teorema ili Helmholcova dekompozicija predstavlja jednu od teorema vektorskoga računa. Prema toj teoremi ako su divergencija i rotor za trodimenzionalno vektorsko polje određeni u svakoj tački konačne oblasti, tada unutar nje vektorsko polje može da se rastavi na dve komponente, jednu irotacionu (čiji rotor je jednak nuli) i drugu solenoidnu. Helmolcova teorema je dobila ime po Hermanu fon Helmholcu.

Teorem

Ako su divergencija i rotor za trodimenzionalno vektorsko polje $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ određeni u svakoj tački konačne oblasti, tada se unutar te oblasti to vektorsko polje može da se rastavi na dve komponente, jednu irotacionu (čiji rotor je jednak nuli) i drugu solenoidnu, tj:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),$

gde je:

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0$ i

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0$

To zapravo znači da se takvo vektorsko polje može generirati sa dva potencijala, jednim skalarnim $\varphi$ i drugim vektorskim $\mathbf {A}$.

Potencijali

Pošto je:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),$

$\operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,$

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0$

Onda se te dve funkcije dadu izraziti preko skalarnoga potencijala $\varphi$ i vektorskoga potencijala $\mathbf {A}$ tj:

$\mathbf {F} _{1}=-\nabla \varphi$

$\mathbf {F} _{2}=\nabla \times \mathbf {A}$

odnosno:

$\mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} ,$

Pri tome je:

$\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$

Ako $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ opada dovoljno brzo u beskonačnosti, tada druga komponenta teži nuli, pa vredi:

$\varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V',$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'.$

Longitudinalna i transverzalna polja

Često se u fizici te dve komponente vektorskoga polja pominju kao longitudinalna i transverzalna komponenta. Takva terminologija nastala je kada se Furijeovom transformacijom od polja $\mathbf {F}$ dobije polje ${\tilde {\mathbf {F} }}$, koje se onda u svakoj tački k dekomponira u dve komponente, od kojih je longitudinalan u smeru k, a transverzalna vertikalna na k. Tada imamo:

${\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )+{\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )$

$\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.$

$\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .$

Inverznom Furijerovom transformacijom dobijamo:

$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{t}+\mathbf {F} _{l}$

$\nabla \cdot \mathbf {F} _{t}=0$

$\nabla \times \mathbf {F} _{l}=\mathbf {0}$

što predstavlja Helmholcovu dekompoziciju.

Literatura

• Helmholcova teorema
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)