С Википедије, слободне енциклопедије
Хелмхолцова теорема или Хелмхолцова декомпозиција представља једну од теорема векторскога рачуна. Према тој теореми ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље одређени у свакој тачки коначне области, тада унутар ње векторско поље може да се растави на две компоненте, једну иротациону (чији ротор је једнак нули) и другу соленоидну. Хелмолцова теорема је добила име по Херману фон Хелмхолцу .
Ако су дивергенција и ротор за тродимензионално векторско поље
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}
F
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
F
2
(
r
)
,
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),}
где је:
rot
F
1
(
r
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0}
div
F
2
(
r
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0}
То заправо значи да се такво векторско поље може генерирати са два потенцијала, једним скаларним
φ
{\displaystyle \varphi }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
Пошто је:
F
(
r
)
=
F
1
(
r
)
+
F
2
(
r
)
,
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} ),}
rot
F
1
(
r
)
=
0
,
{\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} _{1}(\mathbf {r} )=0,}
div
F
2
(
r
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} _{2}(\mathbf {r} )=0}
Онда се те две функције даду изразити преко скаларнога потенцијала
φ
{\displaystyle \varphi }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
F
1
=
−
∇
φ
{\displaystyle \mathbf {F} _{1}=-\nabla \varphi }
F
2
=
∇
×
A
{\displaystyle \mathbf {F} _{2}=\nabla \times \mathbf {A} }
односно:
F
=
−
∇
φ
+
∇
×
A
,
{\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} ,}
При томе је:
φ
(
r
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
−
1
4
π
∫
S
F
(
r
′
)
⋅
d
S
′
|
r
−
r
′
|
,
{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}},}
A
(
r
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
+
1
4
π
∫
S
F
(
r
′
)
×
d
S
′
|
r
−
r
′
|
.
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+{\frac {1}{4\pi }}\int _{S}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \mathbf {\mathrm {d} S} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.}
Ако
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}
φ
(
r
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
⋅
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
,
{\displaystyle \varphi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V',}
A
(
r
)
=
1
4
π
∫
V
∇
′
×
F
(
r
′
)
|
r
−
r
′
|
d
V
′
.
{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'.}
Често се у физици те две компоненте векторскога поља помињу као лонгитудинална и трансверзална компонента. Таква терминологија настала је када се Фуријеовом трансформацијом од поља
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
F
~
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}}
k декомпонира у две компоненте, од којих је лонгитудиналан у смеру k , а трансверзална вертикална на k . Тада имамо:
F
~
(
k
)
=
F
~
l
(
k
)
+
F
~
t
(
k
)
{\displaystyle {\tilde {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )+{\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )}
k
⋅
F
~
t
(
k
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}
k
×
F
~
l
(
k
)
=
0
.
{\displaystyle \mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}
Инверзном Фуријеровом трансформацијом добијамо:
F
=
F
t
+
F
l
{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} _{t}+\mathbf {F} _{l}}
∇
⋅
F
t
=
0
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}=0}
∇
×
F
l
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}=\mathbf {0} }
што представља Хелмхолцову декомпозицију.
Хелмхолцова теорема George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995)
