Paraboloid

Parabolod

U geometriji, paraboloid je kvadratna površina koja ima tačno jednu osu simetrije i nema centar simetrije. Termin "paraboloid" izveden je od parabole, što se odnosi i na konusni presjek koji ima slično svojstvo simetrije.

Paraboloid je geometrijska površina koja nastaje rotacijom parabole po njenoj osi.

Paraboloid

Paraboloid je geometrijska površina drugog reda. Postoje dve vrste paraboloida: eliptični i hiperbolički.

Eliptični paraboloid

Eliptični paraboloid.

Eliptični paraboloid je telo čija je baza eliptičnog oblika i ima minimalnu ili maksimalnu tačku.

Algebarski model Eliptični paraboloid s vrhom u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ i ravni simetrije paralelnim s ravni $x=0$ i $y=0$ ima jednačinu: $z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$

gde je $pq>0$

Rotacioni paraboloid

Rotacioni paraboloid je telo koje nastaje rotacijom parabole oko sopstvene ose i kruga koji čini bazu tela. Algebarski model Rotacioni paraboloid sa vrhom u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji važi da je $p=q$, to znači za rotacioni paraboloid sa osom rotacije paralelnoj sa osom z važi: $2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}$

Volumen rotacionog paraboloida: $V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h$ gde je $\rho$ poluprečnik kružne baze i $h$ je visina paraboloida

Hiperbolički paraboloid

Hiperbolički paraboloid.

Algebarski model Hiperbolički paraboloid sa vrhom u tački $[x_{0},y_{0},z_{0}]$ i ravni simetrije paralelne sa ravni $x=0$ i $y=0$ ima jednačinu: $z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}$

gde je $pq>0$

Osobine

U oblasti hiperboličkog paraboloida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema preseca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dve prave jednog sistema se mimoilaze. Za paraboloid sa centrom u tački $[0,0,0]$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$

$k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z$

$k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}$