Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.
Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију
, биће:
,
што се може написати као:
.
Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију
, представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:
.
Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17e150af3bb41e381a229415360d09abc474d5b)
У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:
![{\displaystyle \Delta _{1}\equiv \nabla _{1}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\;,\quad \Delta _{2}\equiv \nabla _{2}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff91b6f94bcae4989718ef42c56bf0476787456)
У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :
![{\displaystyle \Delta _{3}\equiv \nabla _{3}^{2}={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793a38e385bf3f7b44370f326e208e05c37232d4)
У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:
![{\displaystyle \nabla ^{2}t={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial t \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}t \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}t \over \partial z^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e970711407510086a2e9077f6bca302c92240a1)
У тродимензионалном сферном координатном систему је :
![{\displaystyle \nabla ^{2}t={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial t \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}t \over \partial \phi ^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576afc8a05dddf1a7f0e47c685d46cc05aaa3707)
У Еуклидском простору
Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као
.
Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:
![{\displaystyle \nabla ^{2}f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916a27a604002ea6dd2ed735c17a5cedd001b700)
![{\displaystyle ={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20976c3be6b574fb20939f284033ac2c05f005ac)
- где су
Ламеови коефицијенти.
У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором
Лапласијан је дан са:
![{\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b583db3feb34988ff30cca15b47443ff4da412)
а метрика простора дефинисана је са:
.
Лапласов оператор је линеаран:
![{\displaystyle \nabla ^{2}(f+g)=\nabla ^{2}f+\nabla ^{2}g\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01ce0d6ed32af56592d530b384592d4aac32aaf)
Такође важи :
![{\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=(\nabla ^{2}f)g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+f(\nabla ^{2}g)\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac25d2d1f55835ded318c26004db85b70a3575b1)
Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.