Теорема о отвореном пресликавању

Две се теореме у математици називају именом теорема о отвореном пресликавању.

Функционална анализа

У функционалној анализи, теорема о отвореном пресликавању (понекад: теорема Банаха о отвореном пресликавању, Банах-Шаудерова теорема) је следећи темељни резултат:

Нека су X и Y Банахови простори и $A:X\to Y$ сурјективно непрекидно линеарно пресликавање. Тада је A отворено пресликавање (односно, ако је $U\subset X$ отворен, тада је и слика $f(A)\subset Y$ отворен скуп).

Доказ теореме о отвореном пресликавању користи Берову теорему о категорији. Теорема важи и за Фрешеове просторе, који такође имају Берово својство.

Ова теорема има бројне важне последице, међу којима посебно:

• Ако је $A:X\to Y$ бијективно непрекидно линеарно пресликавање Банахових простора X и Y, тада је инверзно пресликавање $A^{-1}:Y\to X$ такође непрекидно, односно A је хомеоморфизам (теорема о инверзном пресликавању, Банахова теорема о изоморфизму).
• Ако је $A:X\to Y$ линеарно пресликавање између Банахових простора X и Y, и ако из $x_{n}\to 0$ и $Ax_{n}\to y$ за низ елемената $x_{n}\in X$ и $y\in Y$ следи $y=0$, тада је A непрекидно.

Потоње тврђење се назива теоремом о затвореном графику, пошто тврди да је линеарно пресликавање $A:X\to Y$ између Банахових простора непрекидно ако и само ако је његов график $G_{A}=\{(x,Ax):x\in X\}$ затворен подскуп производа $X\times Y$.

Доказ

Потребно је доказати да A слика отворене скупове у отворене. Према линеарности, довољно је доказати да за свако $\epsilon >0$ постоји $\delta >0$ такво да је

$B_{Y}(0,\delta )\subset A(B_{X}(0,\epsilon ))$;

штавише, како је A и хомогено, ово је довољно доказати за једно ε. Посматрајмо затворене скупове

$Y_{n}={\overline {A(B_{X}(0,n))}}$.

Како је A сурјективно пресликавање, $Y=\cup _{n\in {\mathbb {N} }}Y_{n}$. Y је Банахов простор, дакле и комплетан метрички, те према Беровој теореми о категорији неки Y_N има непразну унутрашњост, дакле садржи неку отворену куглу $B_{Y}(y,\eta )$. Према линеарности,

$B_{Y}(0,\eta )\subset Y_{N}+Y_{N}\subset Y_{2N}$.

Докажимо сада да

$B_{Y}(0,\eta /2)\subset A(B_{X}(0,2N))$.

Према хомогености имамо да је

$B_{Y}(0,\eta /2^{k})\subset {\overline {A(B_{X}(0,2N/2^{k}))}}$.

Нека је $y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)$. Према горњој једначини можемо наћи $x_{0}\in B_{X}(0,N)$ тако да је

$\|y_{0}-Ax_{0}\|_{Y}<\eta /4$, односно $y_{1}:=y_{0}-Ax_{0}\in B_{Y}(0,\eta /4)$.

На исти начин можемо наћи и $x_{1}\in B_{X}(0,N/2)$ тако да је $y_{2}:=y_{1}-Ax_{1}\in B_{Y}(0,\eta /8)$, и тако даље:

$x_{k}\in B_{X}(0,N/2^{k})$, $y_{k+1}:=y_{k}-Ax_{k}\in B_{Y}(0,\eta /2^{k+2})$.

Сабирајући првих n ових једнакости имамо

$y_{0}=A(x_{0}+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1})+y_{n}.$

Како је $\|x_{k}\|_{X}<N/2^{k}$, то ред $\sum _{k=0}^{\infty }x_{k}$ конвергира у Банаховом (дакле комплетном) простору X; означимо његову суму са x. Како је A непрекидно пресликавање, имамо да је $\sum _{k=0}^{\infty }Ax_{k}=Ax$. У горњој једначини преласком на граничну вредност тако следи

$y_{0}=Ax.$

Како је

$\|x\|_{X}<N+N/2+N/4+\cdots =2N$

и $y_{0}\in B_{Y}(0,\eta /2)$ је било произвољно, тврђење следи.

Комплексна анализа

У комплексној анализи, понекад се (посебно у земљама енглеског говорног подручја) теоремом о отвореном пресликавању назива тврђење да је за сваки отворен подскуп $U\subseteq {\mathbb {C} }$ и сваку неконстантну холоморфну функцију $f:U\to {\mathbb {C} }$, скуп $f(U)$ отворен; другим речима, свака неконстантна холоморфна функција је отворено пресликавање (слике отворених подскупова ${\mathbb {C} }$ су такође отворени подскупови).