У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.
Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције (
), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили
тачака те функције).
Значи:
![{\displaystyle f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x),x_{i}\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a9fde8542441fddba1dfe7efbe1dc84756a229)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P(x)dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65a8444edf62226b54c063e5c849950d24fc2a2)
су тачке дате функције за једнако распоређених
апсциса
у интервалу
.
f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}^{n}(x)dx} _{c_{i}^{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccde204fdc53699f2ad1f7537f7b4fd200d842fa)
зависи само од тачака
, али не и од функције
. Наша апроксимација постаје:
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{i=0}^{n}c_{i}^{n}f(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/110b2979f131c4da367d6897262a64a2953fac24)
представљају Коутс бројеве,
, који имају особине:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{k}^{n}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a762b22d3850bab92e4f907101bd0ae7b7a20296)
![{\displaystyle c_{i}^{n}=c_{n-i}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d4b9787d9d4169a934f4d1011c468ca86685b7)
За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена (
):
за
,
,
је број тачака;
за
.
n |
име |
Формула |
Грешка ( )
|
1 |
трапезоидно правило |
![{\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/190810541a767e7404bb18a6ad65e7b27e928d0c) |
|
2 |
Симпсоново правило |
![{\displaystyle {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cea0ac47e190b2b8c49d0e198becf0e6e1ff2ee) |
|
3 |
Правило 3/8 |
![{\displaystyle {\frac {3\,h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30c6dac7a40c56ea3ea3671b21322f7d48c7092b) |
|
4 |
Милнеово правило |
![{\displaystyle {\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6a540d6cab85080839a9b3102fb420b25b0aaea) |
|
За велики број тачака у интервалу (
) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за
и
добићемо чак негативне тежине.
Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал
то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.