Раселов парадокс

Канторова теорија скупова са краја 19. века није била заснована аксиоматски па се зато називала наивна теорија скупова. Међутим она је имплицитно у себи садржала неколико аксиома од којих је један био да се за свако својство може формирати скуп свих елемената који имају то својство. Полазећи од овог аксиома Бертранд Расел је 1903. године конструисао парадокс, по њему назван Раселов парадокс који је оборио наивну теорију скупова.^[1]^[2]^[3] Парадокс је већ независно открио немачки математичар Ернст Зермело 1899. године.^[4] Међутим, Зермело није објавио идеју, која је остала позната само Давиду Хилберту, Едмунду Хусерлу и другим академицима са Универзитета у Гетингену. Крајем 1890-их, Георг Кантор – који се сматра оснивачем модерне теорије скупова – већ је схватио да ће његова теорија довести до контрадикције, што је писмом рекао Хилберту и Ричарду Дедекинду.^[5]

Тај парадокс се може исказати на више начина и у више форми а суштина је следећа: Ако за свако својство постоји скуп свих објеката који задовољавају то својство онда то исто важи и за својство „скуп не припада сам себи“. Ово својство је врло природно јер је врло тешко наћи скуп који припада сам себи. Означимо са X скуп објеката за које важи ово својство. Да ли X припада сам себи? Ако припада онда значи да задовољава својство „скуп не припада сам себи“ што је контрадикција. Ако пак не припада сам себи онда ће да задовољи тражено својство па ће баш да припада себи, што је опет контрадикција.

V=\{X\mid X\not \in X\}

До појаве овог парадокса веровало се у непобитност математичке истине и непротивуречност Канторове теорије скупова. После Раселовог парадокса уследила је и серија других парадокса од којих посебно издвајамо Ришаров парадокс. Њиховом појавом математичка грађевина је била озбиљно уздрмана до самих темеља и претила је опасност да се сруши. Криза математике је решавана појавом нових праваца (Расел - логицизам, Брауер - интуиционализам, Хилберт - формализам). Једна варијанта исказивања Раселовог парадокса је: Постоје каталози књига из библиотеке. Ти каталози се такође сматрају за књиге. Неки каталози садрже себе, а неки не (у каталогу). Можемо посматрати један нови каталог у који су пописани сви каталози који не садрже себе. Да ли овај каталог садржи сам себе? Поново ће оба случаја анализирања довести до контрадикције. Једно од могућих превазилажења Раселовог парадокса је да се скуп свих скупова не сматра за скуп, него за класу (класа је овде уопштење појма скупа).

Према принципу неограниченог разумевања, за било које довољно добро дефинисано својство постоји скуп свих и само објеката који имају то својство. Нека је R скуп свих скупова који нису сами чланови. Ако R није члан самог себе, онда његова дефиниција подразумева да је члан самог себе; ако је члан самог себе, онда није члан самог себе, будући да је скуп свих скупова који нису чланови самих себе. Настала контрадикција је Раселов парадокс. У симболима:

{\text{Let }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, then }}R\in R\iff R\not \in R

Расел је такође показао да се верзија парадокса може извести у аксиоматском систему који је конструисао немачки филозоф и математичар Готлоб Фреге, чиме је поткопавао Фрегеов покушај да сведе математику на логику и доводи у питање логистички програм. Два утицајна начина за избегавање парадокса су оба предложена 1908. године: Раселова сопствена теорија типа и Зермелова теорија скупова. Конкретно, Зермелови аксиоми су ограничавали принцип неограниченог разумевања. Уз додатне доприносе Абрахама Френкела, Зермелова теорија скупова се развила у сада стандардну Зермело–Френкелову теорију скупова (познату као ЗФЦ када укључује аксиом избора). Главна разлика између Раселовог и Зермеловог решења парадокса је у томе што је Зермело модификовао аксиоме теорије скупова задржавајући стандардни логички језик, док је Расел модификовао сам логички језик. Испоставило се да је језик ЗФЦ-а, уз помоћ Торалфа Сколема, језик логике првог реда.^[6]

Формална презентација

Термин „наивна теорија скупова“ се користи на разне начине. У једној употреби, наивна теорија скупова је формална теорија, коју се може назвати NST, која је формулисана на језику првог реда са бинарним нелогичким предикатом $\in$ , а то укључује аксиом екстензивности:

\forall x\,\forall y\,(\forall z\,(z\in x\iff z\in y)\implies x=y)

и шема аксиома неограниченог разумевања:

\exists y\forall x(x\in y\iff \varphi (x))

за било коју формулу $\varphi$ са променљивом $x$ као слободном променљивом унутар $\varphi$ . Може се заменити $x\notin x$ за $\varphi (x)$ . Затим егзистенцијалном инстанцијом (поновном употребом симбола $y$ )) и универзалном инстанцијом се добија

y\in y\iff y\notin y

контрадикција. Стога је NST недоследан.^[7]

Историја

Расел је открио парадокс у мају^[8] или јуну 1901.^[9] Према сопственом извештају у свом Уводу у математичку филозофију из 1919. године, он је „покушао да открије неки недостатак у Канторовом доказу да не постоји највећи кардинал“.^[10] У писму из 1902.^[11] он је Готлобу Фрегеу најавио откриће парадокса у Фрегеовом Begriffsschrift из 1879. и уоквирио проблем у смислу логике и теорије скупова, а посебно у смислу Фрегеове дефиниције функције:^[а]^[б]

Постоји само једна тачка у којој сам наишао на потешкоћу. Наводите (стр. 17 [стр. 23 изнад]) да и функција може деловати као неодређени елемент. У то сам раније веровао, али ми се сада ово гледиште чини сумњивим због следеће контрадикторности. Нека је w предикат: такав предикат да се не може предиковати сам од себе. Може ли w бити предиковано само по себи? Из сваког одговора следи његова супротност. Стога морамо закључити да w није предикат. Исто тако, не постоји класа (као тоталитет) оних класа које, свака узета као тоталитет, не припадају себи. Из овога закључујем да под одређеним околностима дефинитивна колекција [Менге] не чини тоталитет.

Расел је то опширно обрадиo у својим Принципима математике из 1903. године, где је поновио свој први сусрет са парадоксом:^[12]

Пре него што се опростимо од фундаменталних питања, потребно је детаљније испитати сингуларну контрадикцију, већ поменуту, у погледу предиката који сами по себи нису предвидљиви... Могу да напоменем да сам доведен до тога у настојању да измирим Канторов доказ...

Расел је писао Фрегеу о парадоксу баш када је Фреге припремао други том своје Grundgesetze der Arithmetik.^[13] Фреге је веома брзо одговорио Раселу; појавило се његово писмо од 22. јуна 1902, са ван Хајенуртовим коментаром у Хајенурту 1967:126–127. Фреге је затим написао додатак у коме је признао постојање парадокса,^[14] и предложио решење које би Расел подржао у својим Принципима математике,^[15] али су касније неки то сматрали незадовољавајућим.^[16] Са своје стране, Расел је имао свој рад већ у штампарији, те је написао додатак о доктрини типова.^[17]

Ернст Зермело је у свом делу из 1908 Нови доказ могућности доброг уређења (објављеном у исто време када је објавио „прву аксиоматску теорију скупова“)^[18] полагао право на претходно откриће антиномије у Канторовој наивној теорији скупова. Он наводи: „А ипак, чак и елементарни облик који је Расел дао антиномијама теоријских скупова могао је да их убеди [Ј. Кениг, Јоурдаин, Ф. Бернстајн] да решење ових потешкоћа не треба тражити у предаји доброг уређивања али само у одговарајућем ограничењу појма скупа“.^[19] У фусноти 9 он износи своју тврдњу:

⁹1903, pp. 366–368. Ја сам, међутим, открио ову антиномију, независно од Расела, и саопштио сам је пре 1903. између осталих и професору Хилберту.^[20]

Фреге је Хилберту послао копију своје Grundgesetze der Arithmetik; као што је горе наведено, Фрегеов последњи том помиње парадокс који је Расел пренео Фрегеу. Након што је примио Фрегеов последњи том, 7. новембра 1903, Хилберт је написао писмо Фрегеу у коме је рекао, позивајући се на Раселов парадокс, „Верујем да га је др Зермело открио пре три или четири године“. Писани извештај о Зермеловом стварном аргументу откривен је у делу Nachlass Едмунда Хусерла.^[21]

Напомене

^ In the following, p. 17 refers to a page in the original Begriffsschrift, and page 23 refers to the same page in van Heijenoort 1967
^ Remarkably, this letter was unpublished until van Heijenoort 1967—it appears with van Heijenoort's commentary at van Heijenoort 1967:124–125.

Референце

^ Russell, Bertrand, "Correspondence with Frege}. In Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence. Translated by Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.
^ Russell, Bertrand. The Principles of Mathematics. 2d. ed. Reprint, New York: W. W. Norton & Company, 1996. (First published in 1903.)
^ Irvine, A. D., H. Deutsch (2021). "Russell's Paradox". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL=<https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/>
^ Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.
^ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor. 1985. ISBN 3-764-31770-1. , Birkhäuser,
^ A.A. Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Foundations of Set Theory. Elsevier. стр. 156—157. ISBN 978-0-08-088705-0.
^ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). „Russell's Paradox”. Ур.: Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
^ The Autobiography of Bertrand Russell, George Allen and Unwin Ltd., 1971, page 147: "At the end of the Lent Term [1901], I went back to Fernhurst, where I set to work to write out the logical deduction of mathematics which afterwards became Principia Mathematica. I thought the work was nearly finished but in the month of May [emphasis added] I had an intellectual set-back […]. Cantor had a proof that there is no greatest number, and it seemed to me that the number of all the things in the world ought to be the greatest possible. Accordingly, I examined his proof with some minuteness, and endeavoured to apply it to the class of all the things there are. This led me to consider those classes which are not members of themselves, and to ask whether the class of such classes is or is not a member of itself. I found that either answer implies its contradictory".
^ Godehard Link (2004), One hundred years of Russell's paradox, стр. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, Приступљено 2016-02-22
^ Russell 1920, стр. 136
^ Gottlob Frege; Michael Beaney (1997), The Frege reader, стр. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, Приступљено 2016-02-22 . Also van Heijenoort 1967:124–125
^ Russell 1903, стр. 101
^ cf van Heijenoort's commentary before Frege's Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126.
^ van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126 ; Frege starts his analysis by this exceptionally honest comment : "Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion" (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, in The Frege Reader, pp. 279, translation by Michael Beaney
^ cf van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126. The added text reads as follows: " Note. The second volume of Gg., which appeared too late to be noticed in the Appendix, contains an interesting discussion of the contradiction (pp. 253–265), suggesting that the solution is to be found by denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution, the reader is strongly recommended to examine Frege's argument on the point" (Russell 1903:522); The abbreviation Gg. stands for Frege's Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.
^ Livio states that "While Frege did make some desperate attempts to remedy his axiom system, he was unsuccessful. The conclusion appeared to be disastrous...." Livio 2009:188. But van Heijenoort in his commentary before Frege's (1902) Letter to Russell describes Frege's proposed "way out" in some detail—the matter has to do with the " 'transformation of the generalization of an equality into an equality of courses-of-values. For Frege a function is something incomplete, 'unsaturated' "; this seems to contradict the contemporary notion of a "function in extension"; see Frege's wording at page 128: "Incidentally, it seems to me that the expression 'a predicate is predicated of itself' is not exact...Therefore I would prefer to say that 'a concept is predicated of its own extension' [etc]". But he waffles at the end of his suggestion that a function-as-concept-in-extension can be written as predicated of its function. van Heijenoort cites Quine: "For a late and thorough study of Frege's "way out", see Quine 1955": "On Frege's way out", Mind 64, 145–159; reprinted in Quine 1955b: Appendix. Completeness of quantification theory. Loewenheim's theorem, enclosed as a pamphlet with part of the third printing (1955) of Quine 1950 and incorporated in the revised edition (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)
^ Russell mentions this fact to Frege, cf van Heijenoort's commentary before Frege's (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126
^ van Heijenoort's commentary before Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967:199
^ van Heijenoort 1967:190–191. In the section before this he objects strenuously to the notion of impredicativity as defined by Poincaré (and soon to be taken by Russell, too, in his 1908 Mathematical logic as based on the theory of types cf van Heijenoort 1967:150–182).
^ Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering in van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 reports that Zermelo "discovered Russell's paradox independently as early as 1900"; Livio in turn cites Ewald 1996 and van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009:268).
^ Rang, B.; Thomas, W. (1981). „Zermelo's discovery of the "Russell Paradox"”. Historia Mathematica. 8: 15—22. doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1.

Литература

A.A. Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Foundations of Set Theory. Elsevier. стр. 156—157. ISBN 978-0-08-088705-0.
Potter, Michael (15. 1. 2004), Set Theory and its Philosophy, Clarendon Press (Oxford University Press), ISBN 978-0-19-926973-0
van Heijenoort, Jean (1967), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, (third printing 1976), Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, ISBN 0-674-32449-8
Livio, Mario (6. 1. 2009), Is God a Mathematician?, New York: Simon & Schuster, ISBN 978-0-7432-9405-8
José Ferreirós (2008). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (2nd изд.). Springer. § Zermelo's cumulative hierarchy pp. 374-378. ISBN 978-3-7643-8350-3.
Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2nd изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory And The Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
Rudin, Walter B. (6. 4. 1990). „Set Theory: An Offspring of Analysis”. Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Архивирано из оригинала 14. 10. 2022. г. Приступљено 15. 07. 2022 — преко YouTube.
Bourbaki, N., Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany, 1994.
Cantor, Georg (1874), „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, J. Reine Angew. Math., 1874 (77): 258—262, S2CID 124035379, doi:10.1515/crll.1874.77.258, See also pdf version
Devlin, K.J., The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, NY, 1993.
María J. Frápolli (1991). „Is Cantorian set theory an iterative conception of set?”. Modern Logic. 1 (4): 302—318. .
Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik, 1, Jena
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.
- Halmos, Paul (1974). Naive Set Theory (Reprint изд.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
- Halmos, Paul (2011). Naive Set Theory (Paperback изд.). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. ISBN 978-1-61427-131-4.
Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kelley, J.L., General Topology, Van Nostrand Reinhold, New York, NY, 1955.
Heijenoort, Jean van (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Cambridge, MA: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8. .
Meschkowski, Herbert; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Edited by the authors., Berlin: Springer, ISBN 3-540-50621-7
Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita, Turin
Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Edited by the author., Berlin: Springer

Спољашње везе

„Russell's Paradox”. Internet Encyclopedia of Philosophy.
Irvine, Andrew David (2016). „Russell's Paradox”. Ур.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy.
Weisstein, Eric W. „Russell's Antinomy”. MathWorld.
Russell's Paradox at Cut-the-Knot
Russell's (Barber) paradox explanation in Python

[12] In the following, p. 17 refers to a page in the original Begriffsschrift, and page 23 refers to the same page in van Heijenoort 1967

[13] Remarkably, this letter was unpublished until van Heijenoort 1967—it appears with van Heijenoort's commentary at van Heijenoort 1967:124–125.

[1] Russell, Bertrand, "Correspondence with Frege}. In Gottlob Frege Philosophical and Mathematical Correspondence. Translated by Hans Kaal., University of Chicago Press, Chicago, 1980.

[2] Russell, Bertrand. The Principles of Mathematics. 2d. ed. Reprint, New York: W. W. Norton & Company, 1996. (First published in 1903.)

[3] Irvine, A. D., H. Deutsch (2021). "Russell's Paradox". Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2021 Edition), E. N. Zalta (ed.), URL=<https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/>

[4] Bernhard Rang, Wolfgang Thomas: Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox", Historia Mathematica 8.

[5] Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor. 1985. ISBN 3-764-31770-1. , Birkhäuser,

[FraenkelBar-Hillel1973-6] A.A. Fraenkel; Y. Bar-Hillel; A. Levy (1973). Foundations of Set Theory. Elsevier. стр. 156—157. ISBN 978-0-08-088705-0.

[7] Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (2014). „Russell's Paradox”. Ур.: Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy.

[8] The Autobiography of Bertrand Russell, George Allen and Unwin Ltd., 1971, page 147: "At the end of the Lent Term [1901], I went back to Fernhurst, where I set to work to write out the logical deduction of mathematics which afterwards became Principia Mathematica. I thought the work was nearly finished but in the month of May [emphasis added] I had an intellectual set-back […]. Cantor had a proof that there is no greatest number, and it seemed to me that the number of all the things in the world ought to be the greatest possible. Accordingly, I examined his proof with some minuteness, and endeavoured to apply it to the class of all the things there are. This led me to consider those classes which are not members of themselves, and to ask whether the class of such classes is or is not a member of itself. I found that either answer implies its contradictory".

[auto-9] Godehard Link (2004), One hundred years of Russell's paradox, стр. 350, ISBN 978-3-11-017438-0, Приступљено 2016-02-22

[10] Russell 1920, стр. 136

[11] Gottlob Frege; Michael Beaney (1997), The Frege reader, стр. 253, ISBN 978-0-631-19445-3, Приступљено 2016-02-22 . Also van Heijenoort 1967:124–125

[14] Russell 1903, стр. 101

[15] van Heijenoort's commentary before Frege's Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126.

[16] van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126 ; Frege starts his analysis by this exceptionally honest comment : "Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion" (Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II, in The Frege Reader, pp. 279, translation by Michael Beaney

[17] van Heijenoort's commentary, cf van Heijenoort 1967:126. The added text reads as follows: " Note. The second volume of Gg., which appeared too late to be noticed in the Appendix, contains an interesting discussion of the contradiction (pp. 253–265), suggesting that the solution is to be found by denying that two propositional functions that determine equal classes must be equivalent. As it seems very likely that this is the true solution, the reader is strongly recommended to examine Frege's argument on the point" (Russell 1903:522); The abbreviation Gg. stands for Frege's Grundgezetze der Arithmetik. Begriffsschriftlich abgeleitet. Vol. I. Jena, 1893. Vol. II. 1903.

[18] Livio states that "While Frege did make some desperate attempts to remedy his axiom system, he was unsuccessful. The conclusion appeared to be disastrous...." Livio 2009:188. But van Heijenoort in his commentary before Frege's (1902) Letter to Russell describes Frege's proposed "way out" in some detail—the matter has to do with the " 'transformation of the generalization of an equality into an equality of courses-of-values. For Frege a function is something incomplete, 'unsaturated' "; this seems to contradict the contemporary notion of a "function in extension"; see Frege's wording at page 128: "Incidentally, it seems to me that the expression 'a predicate is predicated of itself' is not exact...Therefore I would prefer to say that 'a concept is predicated of its own extension' [etc]". But he waffles at the end of his suggestion that a function-as-concept-in-extension can be written as predicated of its function. van Heijenoort cites Quine: "For a late and thorough study of Frege's "way out", see Quine 1955": "On Frege's way out", Mind 64, 145–159; reprinted in Quine 1955b: Appendix. Completeness of quantification theory. Loewenheim's theorem, enclosed as a pamphlet with part of the third printing (1955) of Quine 1950 and incorporated in the revised edition (1959), 253—260" (cf REFERENCES in van Heijenoort 1967:649)

[19] Russell mentions this fact to Frege, cf van Heijenoort's commentary before Frege's (1902) Letter to Russell in van Heijenoort 1967:126

[20] van Heijenoort's commentary before Zermelo (1908a) Investigations in the foundations of set theory I in van Heijenoort 1967:199

[21] van Heijenoort 1967:190–191. In the section before this he objects strenuously to the notion of impredicativity as defined by Poincaré (and soon to be taken by Russell, too, in his 1908 Mathematical logic as based on the theory of types cf van Heijenoort 1967:150–182).

[22] Ernst Zermelo (1908) A new proof of the possibility of a well-ordering in van Heijenoort 1967:183–198. Livio 2009:191 reports that Zermelo "discovered Russell's paradox independently as early as 1900"; Livio in turn cites Ewald 1996 and van Heijenoort 1967 (cf Livio 2009:268).

[23] Rang, B.; Thomas, W. (1981). „Zermelo's discovery of the "Russell Paradox"”. Historia Mathematica. 8: 15—22. doi:10.1016/0315-0860(81)90002-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[а]

[б]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]