Identitet (matematika)

Vizuelni dokaz Pitagorinog identiteta: za bilo koji ugao $\theta$, tačka $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ leži na jediničnom krugu, što zadovoljava jednačinu $x^{2}+y^{2}=1$. dakle, $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

U matematici, identitet je jednakost koja se odnosi na jedan matematički izraz A na drugi matematički izraz B, tako da A i B (koje mogu sadržati neke promenljive) proizvode istu vrednost za sve vrednosti varijabli unutar određenog domena diskursa. Drugim rečima, A=B je identitet ako A i B definišu iste funkcije, a identitet je jednakost između funkcija koje su različito definisane. Na primer, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ i $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ su identiteti. Identiteti se ponekad označavaju simbolom trostrukim znakom jednakosti (≡), umesto znakom jednakosti (=). Formalno, identitet je univerzalno kvantifikovana jednakost.

Zajednički identiteti

Algebarski identiteti

Određeni identiteti, kao na primer $a+0=a$ i $a+(-a)=0$, čine osnovu algebre, dok drugi identiteti, kao na primer $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ i $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$, može biti korisno u pojednostavljivanju algebarskih izraza i njihovom proširenju.

Trigonometrijski identiteti

Geometrijski, trigonometrijski identiteti su identiteti koji uključuju određene funkcije jednog ili više uglova. Oni se razlikuju od identiteta trougla, koji su identiteti koji uključuju i uglove i dužine stranica trougla. U ovom članku su obrađeni samo prvi.

Ovi identiteti su korisni kad god izraze koji uključuju trigonometrijske funkcije treba pojednostaviti. Druga važna primena je integral netrigonometrijskih funkcija: uobičajena tehnika koja uključuje prvo korišćenje pravila zamene sa trigonometrijskom funkcijom, a zatim pojednostavljivanje rezultujućeg integrala sa trigonometrijskim identitetom.

Jedan od najistaknutijih primera trigonometrijskih identiteta uključuje jednačinu $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ što važi za sve stvarne vrednosti od $\theta$. S druge strane, jednačina

$\cos \theta =1$

važi samo za određene vrednosti $\theta$, a ne sve. Na primer, ova jednačina je tačna kada je $\theta =0,$ ali netačna kada je $\theta =2$.

Druga grupa trigonometrijskih identiteta odnosi se na takozvane formule sabiranja/oduzimanja (na primer identitet dvostrukog ugla $\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$, formula za dodavanje za $\tan(x+y)$), koji se može koristiti za razbijanje izraza većih uglova na one sa manjim sastojcima.

Stepenovani identiteti

Glavni članak: Stepenovanje

Sledeći identiteti važe za sve celobrojne stepene, pod uslovom da je baza različita od nule:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

Za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje nije komutativno. Na primer, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 i 2 · 3 = 3 · 2 = 6, ali 2³ = 8 dok je 3² = 9.

Takođe, za razliku od sabiranja i množenja, stepenovanje takođe nije asocijativno. Na primer, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 i (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, ali 2³ do 4 je 8⁴ (ili 4,096) dok je 2 do 3⁴ 2⁸¹ (ili 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Kada nisu napisane zagrade, po konvenciji je redosled odozgo nadole, a ne odozdo prema gore:

$b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},$ dok $(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.$

Logaritamski identiteti

Nekoliko važnih formula, koje se ponekad nazivaju logaritamski identiteti ili logaritamski zakoni, povezuju logaritme jedan sa drugim:

Proizvod, količnik, snaga i koren

Logaritam proizvoda je zbir logaritama brojeva koji se množe; logaritam odnosa dva broja je razlika logaritama. Logaritam p tog stepena broja je p puta veći od logaritma samog broja; logaritam p tog korena je logaritam broja podeljenog sa p. Sledeća tabela navodi ove identitete sa primerima. Svaki od identiteta se može izvesti nakon zamene definicija logaritma $x=b^{\log _{b}x},$ i/ili $y=b^{\log _{b}y},$ u leve strane.

	Formula	Primer
proizvod	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
količnik	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
stepen	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
koren	$\log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

Promena baze

Logaritam log_b(x) se može izračunati iz logaritama x i b u odnosu na proizvoljnu bazu k koristeći sledeću formulu:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.$

Tipični naučni kalkulatori izračunavaju logaritme na osnovu 10 i e. Logaritmi u odnosu na bilo koju bazu b mogu se odrediti korišćenjem bilo kog od ova dva logaritma po prethodnoj formuli:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.$

Dat je broj x i njegov logaritam log_b(x) nepoznatoj osnovici b, baza je data sa:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

Identiteti hiperboličkih funkcija

Hiperboličke funkcije zadovoljavaju mnoge identitete, a svi su po formi slični trigonometrijskim identitetima. U stvari, Ozbornovo pravilo kaže da se može konvertovati bilo koji trigonometrijski identitet u hiperbolički identitet tako što će ga se u potpunosti proširiti u smislu celobrojnih snaga sinusa i kosinusa, promeniti sinus u sinh i kosinus u cosh, i promeniti znak svakog člana koji sadrži proizvod parnog broja hiperboličkih sinusa.

Gudermanova funkcija daje direktnu vezu između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija koja ne uključuje kompleksne brojeve.

Logika i univerzalna algebra

Formalno, identitet je prava univerzalno kvantifikovana formula forme $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ gde su s i t članovi bez drugih slobodnih promenljivih osim $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ Prefiks kvantifikatora $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ često ostaje implicitno, kada se navodi da je formula identitet. Na primer, aksiomi monoida se često daju kao formule

$\forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,$

ili, ukratko,

$x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.$

Dakle, ove formule su identiteti u svakom monoidu. Kao i za svaku jednakost, formule bez kvantifikatora se često nazivaju jednačinama. Drugim rečima, identitet je jednačina koja je tačna za sve vrednosti promenljivih.

Vidi još

• Računovodstveni identitet
• Spisak matematičkih identiteta

 

Spoljašnje veze

• The Encyclopedia of Equation Onlajn enciklopedija matematičkih identiteta (arhivirano)
• Zbirka algebarskih identiteta Arhivirano na sajtu Wayback Machine (1. oktobar 2011)