Пређи на садржај

Идентитет (математика)

С Википедије, слободне енциклопедије
Визуелни доказ Питагориног идентитета: за било који угао , тачка лежи на јединичном кругу, што задовољава једначину . дакле, .

У математици, идентитет је једнакост која се односи на један математички израз A на други математички израз B, тако да A и B (које могу садржати неке променљиве) производе исту вредност за све вредности варијабли унутар одређеног домена дискурса.[1][2] Другим речима, A=B је идентитет ако A и B дефинишу исте функције, а идентитет је једнакост између функција које су различито дефинисане. На пример, и су идентитети.[3] Идентитети се понекад означавају симболом троструким знаком једнакости (), уместо знаком једнакости (=).[4] Формално, идентитет је универзално квантификована једнакост.

Заједнички идентитети

[уреди | уреди извор]

Алгебарски идентитети

[уреди | уреди извор]

Одређени идентитети, као на пример и , чине основу алгебре,[5] док други идентитети, као на пример и , може бити корисно у поједностављивању алгебарских израза и њиховом проширењу.[6]

Тригонометријски идентитети

[уреди | уреди извор]

Геометријски, тригонометријски идентитети су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова.[7] Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који укључују и углове и дужине страница троугла. У овом чланку су обрађени само први.

Ови идентитети су корисни кад год изразе који укључују тригонометријске функције треба поједноставити. Друга важна примена је интеграл нетригонометријских функција: уобичајена техника која укључује прво коришћење правила замене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла са тригонометријским идентитетом.

Један од најистакнутијих примера тригонометријских идентитета укључује једначину што важи за све стварне вредности од . С друге стране, једначина

важи само за одређене вредности , а не све. На пример, ова једначина је тачна када је али нетачна када је .

Друга група тригонометријских идентитета односи се на такозване формуле сабирања/одузимања (на пример идентитет двоструког угла , формула за додавање за ), који се може користити за разбијање израза већих углова на оне са мањим састојцима.

Степеновани идентитети

[уреди | уреди извор]

Следећи идентитети важе за све целобројне степене, под условом да је база различита од нуле:

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно. На пример, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, али 23 = 8 док је 32 = 9.

Такође, за разлику од сабирања и множења, степеновање такође није асоцијативно. На пример, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, али 23 до 4 је 84 (или 4,096) док је 2 до 34 281 (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Када нису написане заграде, по конвенцији је редослед одозго надоле, а не одоздо према горе:

док

Логаритамски идентитети

[уреди | уреди извор]

Неколико важних формула, које се понекад називају логаритамски идентитети или логаритамски закони, повезују логаритме један са другим:[а]

Производ, количник, снага и корен

[уреди | уреди извор]

Логаритам производа је збир логаритама бројева који се множе; логаритам односа два броја је разлика логаритама. Логаритам p тог степена броја је p пута већи од логаритма самог броја; логаритам p тог корена је логаритам броја подељеног са p. Следећа табела наводи ове идентитете са примерима. Сваки од идентитета се може извести након замене дефиниција логаритма и/или у леве стране.

Формула Пример
производ
количник
степен
корен

Промена базе

[уреди | уреди извор]

Логаритам logb(x) се може израчунати из логаритама x и b у односу на произвољну базу k користећи следећу формулу:

Типични научни калкулатори израчунавају логаритме на основу 10 и e.[8] Логаритми у односу на било коју базу b могу се одредити коришћењем било ког од ова два логаритма по претходној формули:

Дат је број x и његов логаритам logb(x) непознатој основици b, база је дата са:

Идентитети хиперболичких функција

[уреди | уреди извор]

Хиперболичке функције задовољавају многе идентитете, а сви су по форми слични тригонометријским идентитетима. У ствари, Озборново правило[9] каже да се може конвертовати било који тригонометријски идентитет у хиперболички идентитет тако што ће га се у потпуности проширити у смислу целобројних снага синуса и косинуса, променити синус у sinh и косинус у cosh, и променити знак сваког члана који садржи производ парног броја хиперболичких синуса.[10]

Гудерманова функција даје директну везу између тригонометријских и хиперболичких функција која не укључује комплексне бројеве.

Логика и универзална алгебра

[уреди | уреди извор]

Формално, идентитет је права универзално квантификована формула форме где су s и t чланови без других слободних променљивих осим Префикс квантификатора често остаје имплицитно, када се наводи да је формула идентитет. На пример, аксиоми моноида се често дају као формуле

или, укратко,

Дакле, ове формуле су идентитети у сваком моноиду. Као и за сваку једнакост, формуле без квантификатора се често називају једначинама. Другим речима, идентитет је једначина која је тачна за све вредности променљивих.[11][12]

Референце

[уреди | уреди извор]

Напомене

[уреди | уреди извор]
  1. ^ All statements in this section can be found in Shirali 2002, Section 4, Downing 2003, стр. 275, or Kate & Bhapkar 2009, стр. 1-1, for example.
  1. ^ Equation. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
  2. ^ Pratt, Vaughan, "Algebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2022 Edition), Edward N. Zalta & Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
  3. ^ „Mathwords: Identity”. www.mathwords.com. Приступљено 2019-12-01. 
  4. ^ „Identity – math word definition – Math Open Reference”. www.mathopenref.com. Приступљено 2019-12-01. 
  5. ^ „Basic Identities”. www.math.com. Приступљено 2019-12-01. 
  6. ^ „Algebraic Identities”. www.sosmath.com. Приступљено 2019-12-01. 
  7. ^ Stapel, Elizabeth. „Trigonometric Identities”. Purplemath. Приступљено 2019-12-01. 
  8. ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability, Schaum's outline series, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5 , p. 21
  9. ^ Osborn, G. (1. 1. 1902). „109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae”. The Mathematical Gazette. 2 (34): 189. JSTOR 3602492. doi:10.2307/3602492. 
  10. ^ Peterson, John Charles (2003). Technical mathematics with calculus (3rd изд.). Cengage Learning. стр. 1155. ISBN 0-7668-6189-9. , Chapter 26, page 1155
  11. ^ Nachum Dershowitz; Jean-Pierre Jouannaud (1990). „Rewrite Systems”. Ур.: Jan van Leeuwen. Formal Models and Semantics. Handbook of Theoretical Computer Science. B. Elsevier. стр. 243—320. 
  12. ^ Wolfgang Wechsler (1992). Wilfried Brauer; Grzegorz Rozenberg; Arto Salomaa, ур. Universal Algebra for Computer Scientists. EATCS Monographs on Theoretical Computer Science. 25. Berlin: Springer. ISBN 3-540-54280-9.  Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

 

Спољашње везе

[уреди | уреди извор]