Kovarijantan izvod

Paralelni transport na sferi

Kovarijantan izvod u diferencijalnoj geometriji predstavlja generalizaciju opštega izvoda za tenzorska polja i vektore u krivolinijskim koordinatnim sistemima. Kovarijantni izvod tenzorskoga polja $T$ u smeru tangentnoga vektora ${\mathbf {v} }$ označava se $\nabla _{\mathbf {v} }T$. Označava se na više različitih načina $\nabla _{\ell }A^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }A^{ik}.$ Za vektor kovarijantni izvod je dan sa sledećom formulom:

$D_{\ell }A^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)$

Paralelni transport

Kovarijantni i obični izvod ne razlikuju se za skalarne funkcije, ali razlikuje se za vektore i tenzore. Za uobičajen Dekartov koordinatni sistem dobro je definisano oduzimanje vektora, koji se nalaze u različitim tačkama prostora. Dva vektora se oduzmu tako da se jedan od njih translatuje do drugoga i onda se se izvrši oduzimanje. Za krivolinijske koordinate paraleni transport ili translacija vektora izvodi se tako da se vektor translatuje do drugoga vektora, ali pošto u krivolinijskim koordinatama translacija nije ista kao u ravnom koordinatnom sistemu pojavljuje se razlika prilikom translacije u dva različita sistema.

Izvod formule

Kada u krivolinijskom sistemu oduzimamo dva vektora pored uobičajene razlike dva vektora u pravougaonom sistemu imamo i dodatnu razliku zbog paralelnoga transporta jednoga vektora do drugoga.

Neka u $x^{i}$ vektor ima vrednost $A^{i},$ a u nekoj tački $x^{i}+dx^{i}$ vrednost $A^{i}+dA^{i}.$ Ako vektor $A^{i}$ transportujemo do $x^{i}+dx^{i}$ on se zbog paralelnoga transporta u krivolinijskim koordinatama promeni za $\delta A^{i}.$ Ukupna razlika dva vektora postaje onda:

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

Tu se koristi Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta. Paralelni transport zavisan je od Kristofelovih simbola:

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

Pošto je $dA^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}dx^{l}$ dobija se:

$DA^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)dx^{l}$

odnosno

$D_{\ell }A^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)$

Kovarijantni izvod za tenzore

Postoji više različitih oznaka za kovarijantan izvod: npr:

$\nabla _{\ell }A^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }A^{ik}$

Kovarijantni izvod vektorskoga polja je:

$\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{k\ell }V^{k}.\$

Ukoliko se radi o sistemu, koji nema zakrivljene koordinate ili ako su Hristofelovi koeficijenti jednaki nuli onda se kovarijantan izvod za vektore ne razlikuje od običnoga izvoda.

Kovarijantni izvod skalarnoga polja jednak je običnom izvodu:

$D_{\mu }\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}.$

a kovarijantni izvod kovektorskoga polja $\omega _{m}\$ je

$\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{\ell }}}-\Gamma ^{k}{}_{\ell m}\omega _{k}.\$

Kovarijantni izvod tenzorskoga polja $A^{ik}\$ je

$\nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\$

tj.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\$

Za mešano tenzorsko polje imamo:

$A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\$

a za tenzorsko polje polje tipa (0,2) kovarijantan izvod je:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\$

Kovarijantni izvod za neki tenzor tipa (n, m) je:

$\nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{ki_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}$

Literatura

• Kovarijantan izvod
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall