Коваријантан извод

Паралелни транспорт на сфери

Коваријантан извод у диференцијалној геометрији представља генерализацију општега извода за тензорска поља и векторе у криволинијским координатним системима. Коваријантни извод тензорскога поља $T$ у смеру тангентнога вектора ${\mathbf {v} }$ означава се $\nabla _{\mathbf {v} }T$. Означава се на више различитих начина $\nabla _{\ell }A^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }A^{ik}.$ За вектор коваријантни извод је дан са следећом формулом:

$D_{\ell }A^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)$

Паралелни транспорт

Коваријантни и обични извод не разликују се за скаларне функције, али разликује се за векторе и тензоре. За уобичајен Декартов координатни систем добро је дефинисано одузимање вектора, који се налазе у различитим тачкама простора. Два вектора се одузму тако да се један од њих транслатује до другога и онда се се изврши одузимање. За криволинијске координате паралени транспорт или транслација вектора изводи се тако да се вектор транслатује до другога вектора, али пошто у криволинијским координатама транслација није иста као у равном координатном систему појављује се разлика приликом транслације у два различита система.

Извод формуле

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога.

Нека у $x^{i}$ вектор има вредност $A^{i},$ а у некој тачки $x^{i}+dx^{i}$ вредност $A^{i}+dA^{i}.$ Ако вектор $A^{i}$ транспортујемо до $x^{i}+dx^{i}$ он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за $\delta A^{i}.$ Укупна разлика два вектора постаје онда:

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

Пошто је $dA^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}dx^{l}$ добија се:

$DA^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)dx^{l}$

односно

$D_{\ell }A^{i}=\left({\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}\right)$

Коваријантни извод за тензоре

Постоји више различитих ознака за коваријантан извод: нпр:

$\nabla _{\ell }A^{ik}=A^{ik}{}_{;\ell }=D_{\ell }A^{ik}$

Коваријантни извод векторскога поља је:

$\nabla _{\ell }V^{m}={\frac {\partial V^{m}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{m}{}_{k\ell }V^{k}.\$

Уколико се ради о систему, који нема закривљене координате или ако су Христофелови коефицијенти једнаки нули онда се коваријантан извод за векторе не разликује од обичнога извода.

Коваријантни извод скаларнога поља једнак је обичном изводу:

$D_{\mu }\varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}.$

а коваријантни извод ковекторскога поља $\omega _{m}\$ је

$\nabla _{\ell }\omega _{m}={\frac {\partial \omega _{m}}{\partial x^{\ell }}}-\Gamma ^{k}{}_{\ell m}\omega _{k}.\$

Коваријантни извод тензорскога поља $A^{ik}\$ је

$\nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\$

тј.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\$

За мешано тензорско поље имамо:

$A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\$

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\$

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

$\nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{ki_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}$

Литература

• Коваријантан извод
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall