Parcijalna diferencijalna jednačina

Vizualizacija rešenja dvodimenzionalne jednačine toplote sa temperaturom koja je predstavljena trećom dimenzijom

Parcijalna diferencijalna jednačina je diferencijalna jednačina koja sadrži prethodno nepoznate funkcije sa više promenljivih i njihove parcijalne izvode. Koriste se za formulisanje problema koji uključuju funkcije više promenljivih, a rešavaju se ručno ili se koriste za kreiranje kompjuterskih modela. Poseban slučaj su obične diferencijalne jednačine koje se bave funkcijama jedne promenljive i njihovim izvodima.

Parcijalne diferencijalne jednačine mogu se koristiti za opis širokog spektra fenomena kao što su zvuk, difuzija, toplota, elektrostatika, elektrodinamika, dinamika fluida, elastičnost ili kvantna mehanika. Baš kao što obične diferencijalne jednačine često modeliraju jednodimenzionalne dinamičke sisteme, parcijalne diferencijalne jednačine često modeliraju višedimenzionalne sisteme. Parcijalne diferencijalne jednačine pronalaze svoju generalizaciju u stohastičkim parcijalnim diferencijalnim jednačinama.

• Linearna homogena parcijalna jednačina je oblika:

$P_{1}(x_{1},...,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+...+P_{n}(x_{1},...,x_{n}){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=0$.

• Kvazilinearna parcijalna jednačina je oblika:

$P_{1}(x_{1},...,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{1}}}+...+P_{n}(x_{1},...,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}=P_{n+1}(x_{1},...,x_{n},u)$.

Uvod

Parcijalne diferencijalne jednačine (PDE) su jednačine koje sadrže stope promene u odnosu na kontinuirane promenljive. Na primer, pozicija čvrstog tela je određena sa šest parametara, dok je konfiguracija fluida data putem kontinuirane distribucije nekoliko parametara, kao što su temperatura, pritisak, i tako dalje. Dok se dinamika krutog tela odvija u konačno dimenzionalnom konfiguracionom prostoru, dinamika tečnosti se javlja u beskonačno dimenzionalnom konfiguracionom prostoru. Ova razlika čini PDE znatno teže rešivim od običnih diferencijalnih jednačina, ali ovde opet postoje jednostavna rešenja za linearne probleme. Klasični domeni primene PDE obuhvataju akustiku, dinamiku fluida, elektrodinamiku, i toplotni transfer.

Parcijalna diferencijalna jednačina za funkciju u(x₁,… x_n) je jednačina oblika

$f\left(x_{1},\ldots x_{n};u,{\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots {\frac {\partial u}{\partial x_{n}}};{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{1}}},\ldots {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{n}}};\ldots \right)=0.$

Ako je f linearna funkcija u i njenih derivata, onda se PDE naziva linearnom. Uobičajeni primeri linearnih PDE obuhvataju toplotnu jednačinu, talasnu jednačinu, Laplasovu jednačinu, Helmholcovu jednačinu, Klejn-Gordonovu jednačinu i Poisonovu jednačinu.

Jedna relativno jednostavna PDE je

${\frac {\partial u}{\partial x}}(x,y)=0.$

Ova relacija podrazumeva da je funkcija u(x,y) nezavisna od x. Međutim, ova jednačina ne daje informacije o zavisnosti funkcije od promenljive y. Stoga je opšte rešenje ove jednačine

$u(x,y)=f(y),$

gde je f proizvoljna funkcija od y. Analogna obična diferencijalna jednačina je

${\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)=0,$

koja ima rešenje

$u(x)=c,$

gde je c bilo koja konstantna vrednost. Ova dva primera ilustruju da opšta rešenja običnih diferencijalnih jednačina obuhvataju proizvoljne konstante, dok rešenja parcijalnih diferencijalnih jednačina obuhvataju proizvoljne funkcije. Rešenje PDE generalno nije jedinstveno; dodatni uslovi moraju generalno da budu specificirani na granicama regije gde je rešenje definisano. Na primer, u gornjem jednostavnom primeru, funkcija f(y) može da bude određena ako je u specificirano na liniji x = 0.

Postojanje i jedinstvenost

Dok pitanje postojanja i jedinstvenosti rešenja običnih diferencijalnih jednačina ima veoma zadovoljavajuće pokazatelje uz primenu Pikarove teoreme, to nije tako u slučaju parcijalnih diferencijalnih jednačina. Teorema Koši—Kovalevskog navodi da Košijev problem za bilo koju parcijalnu diferencijalnu jednačinu čiji su koeficijenti analitički u nepoznatoj funkciji i njenim derivatima, ima lokalno jedinstveno analitičko rešenje. Iako se može steći utisak da ovaj rezultat rešava postojanje i jedinstvenost rešenja, postoje primeri linearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina čiji koeficijenti imaju izvode svih redova (koji ipak nisu analitički) ali koji nemaju rešenja za sve jednačine. Čak i ako rešenja parcijalnih diferencijalnih jednačina postoje i jedinstvena su, ona uprkos toga mogu da imaju neželjena svojstva. Matematička studija ovih pitanja je obično u moćnijem kontekstu slabih rešenja.

Jedan prime patološkog ponašanja je sekvenca (u zavisnosti od n) Košijevih problema za Laplasovu jednačinu

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,$

sa graničnim uslovima

${\begin{aligned}u(x,0)&=0,\\{\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)&={\frac {\sin nx}{n}},\end{aligned}}$

gde je n ceo broj. Izvod u u odnosu na y uniformno prilazi nuli u x sa povećanjem n, ali je rešenje

$u(x,y)={\frac {\sinh ny\sin nx}{n^{2}}}.$

Ovo rešenje se približava beskonačnosti ako nx nije celobrojni umnožak π za bilo koju ne-nultu vrednost y. Košijev problem za Laplasovu jednačinu se naziva loše postavljenim, jer rešenje kontinuirano ne zavisi od podataka problema. Takvi loše postavljeni problemi obično nisu zadovoljavajući za fizičke primene.

Notacija

U parcijalnim diferencijalnim jednačinama je uobičajeno da se parcijalni derivati označe koristeći indekse.

$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}}$

$u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

$u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$

U fizici se, del ili nabla (∇) često koriste za označavanje prostornih izvoda, a u̇, ü za vremenske izvode. Na primer, talasna jednačina (dole opisana) se može napisati kao

${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u$

ili

${\ddot {u}}=c^{2}\Delta u$

gde je Δ Laplasov operator.

Vidi još

• Diferencijalna jednačina

Literatura

• Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Uniqueness and Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations. World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2. 
• Adomian, G. (1994). Solving Frontier problems of Physics: The decomposition method. Kluwer Academic Publishers. 
• Courant, R. & Hilbert, D. (1962), Methods of Mathematical Physics, II, New York: Wiley-Interscience .
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0772-9 .
• Holubová, Pavel Drábek ; Gabriela (2007). Elements of partial differential equations ([Online-Ausg.]. izd.). Berlin: de Gruyter. ISBN 9783110191240. 
• Ibragimov, Nail H (1993), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3, Providence: CRC-Press, ISBN 978-0-8493-4488-6 .
• John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90609-6 .
• Jost, J. (2002), Partial Differential Equations, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95428-8 .
• Lewy, Hans (1957), „An example of a smooth linear partial differential equation without solution”, Annals of Mathematics, Second Series, 66 (1): 155—158, doi:10.2307/1970121 .
• Liao, S.J. (2003), Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method, Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC Press, ISBN 978-1-58488-407-1 
• Olver, P.J. (1995), Equivalence, Invariants and Symmetry, Cambridge Press .
• Petrovskii, I. G. (1967), Partial Differential Equations, Philadelphia: W. B. Saunders Co. .
• Pinchover, Y. & Rubinstein, J. (2005), An Introduction to Partial Differential Equations, New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-84886-2 .
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-58488-299-2 .
• Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-58488-355-5 .
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. & Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 978-0-415-27267-4 .
• Roubíček, T. (2013), Nonlinear Partial Differential Equations with Applications (2nd izd.), Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456, doi:10.1007/978-3-0348-0513-1 
• Solin, P. (2005), Partial Differential Equations and the Finite Element Method, Hoboken, NJ: J. Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-72070-6 .
• Solin, P.; Segeth, K. & Dolezel, I. (2003), Higher-Order Finite Element Methods, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-58488-438-5 .
• Stephani, H. (1989), Differential Equations: Their Solution Using Symmetries. Edited by M. MacCallum, Cambridge University Press .
• Wazwaz, Abdul-Majid (2009). Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory. Higher Education Press. ISBN 978-3-642-00251-9. 
• Wazwaz, Abdul-Majid (2002). Partial Differential Equations Methods and Applications. A.A. Balkema. ISBN 978-90-5809-369-1. 
• Zwillinger, D. (1997), Handbook of Differential Equations (3rd izd.), Boston: Academic Press, ISBN 978-0-12-784395-7 .
• Gershenfeld, N. (1999), The Nature of Mathematical Modeling (1st izd.), New York: Cambridge University Press, New York, NY, USA, ISBN 978-0-521-57095-4 .
• Krasil'shchik, I.S. & Vinogradov, A.M., Eds. (1999), Symmetries and Conserwation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 978-0-8218-0958-7 .
• Krasil'shchik, I.S.; Lychagin, V.V. & Vinogradov, A.M. (1986), Geometry of Jet Spaces and Nonlinear Partial Differential Equations, Gordon and Breach Science Publishers, New York, London, Paris, Montreux, Tokyo, ISBN 978-2-88124-051-5 .
• Vinogradov, A.M. (2001), Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, USA, ISBN 978-0-8218-2922-6 .
• Cajori, Florian (1928). „The Early History of Partial Differential Equations and of Partial Differentiation and Integration” (PDF). The American Mathematical Monthly. 35 (9): 459—467. doi:10.2307/2298771. Arhivirano iz originala (PDF) 23. 11. 2018. g. Pristupljeno 07. 03. 2019. 

Spoljašnje veze

• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Differential equation, partial”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Partial Differential Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Partial Differential Equations: Methods at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Example problems with solutions at exampleproblems.com
• Partial Differential Equations at mathworld.wolfram.com
• Partial Differential Equations with Mathematica
• Partial Differential Equations Arhivirano na sajtu Wayback Machine (17. avgust 2016) in Cleve Moler: Numerical Computing with MATLAB
• Partial Differential Equations at nag.com
• Dispersive PDE Wiki
• NEQwiki, the nonlinear equations encyclopedia Arhivirano na sajtu Wayback Machine (12. decembar 2018)
• Partial differential equation | Scholarpedia