Funkciju f(x) (plava) aproksimiramo uz pomoć kvadratne funkcije P(x) (crvena).
Simpsonovo pravilo nazvano tako po Tomasu Simpsonu je metoda iz numeričke analize kojom približno izračunavamo određen integral neke funkcije f(x), tj. interesuje nas aproksimacija .
Simpsonova formula (ili pravilo) je u stvari deo Njutn-Kouts formula. Funkciju prvo aproksimiramo uz pomoć Lagranžovih polinoma drugog stepena, a posle umesto da izračunamo integral funkcije , izračunavamo integral dobijenog polinoma:
, pritom
Označimo početnu tačku integrala , krajnju , a tačku u sredini (obratiti pažnju na skicu sa strane) i dobićemo:
Ovom prilikom nije prikazano kako se dolazi do konačne formule; račun nije težak i sastoji se od primene jednostavnih pravila za integrale (na primer, primena integrala na sumu):
Kada se želi aproksimirati integral u intervalu od do tada će za to biti neophodne tri tačke date funkcije.
Greška u datom intervalu je:
, gde je .
Ukoliko želimo da nađemo najveću moguću grešku odnosno njenu granicu, dovoljno je maksimirati četvrti izvod funkcije za :
Obzirom da greška zavisi od razmaka između tačaka kojima se vrši aproksimacija, a ako se označi taj razmak sa , može se reći, koristeći se O-notacijom da se greška nalazi .
Ukoliko smo nezadovoljni aproksimacijom, jedan od načina za poboljšanje je da interval podelimo na više delova (manjih intervala) te da na svakom pojedinačno primenimo Simpsonovo pravilo i na kraju ih saberemo.
Označimo broj tačaka sa , a razmak između njih sa i dobićemo:
,
što takođe možemo napisati kao
ili kao proizvod vektora ( ):
.
Greška za složeno Simpsonovo pravilo je:
,
ili kada želimo da joj nađemo granicu:
Takođe, kao što vidimo, formulu za Simpsonovo pravilo možemo izvesti i iz kombinacije trapezoidnog pravila i pravila pravougaonika ( označava aproksimaciju integrala funkcije između datih i , to isto za trapezoidno pravilo, a za pravilo pravougaonika):
U praksi se ponekad susrećemo sa situacijama kada je neka funkcija u određenim oblastima „dosadna“ i čije integrale možemo da izračunamo vrlo lako sa malo tačaka (kada je funkcija relativno „ispeglana"), dok je u određenim oblastima vrlo promenljiva i tu nam za dobru aproksimaciju treba mnogo više tačaka.
Da bismo to postigli, koristićemo se taktikom "podeli pa vladaj":
Izračunaj središnu tačku datog intervala :
Izračunaj aproksimaciju integrala za koristeći se Simpsonovim pravilom (nazovimo je
Izračunaj aproksimacije za podeljen interval (označimo je i ) uz pomoć običnog Simpsonovog pravila.
Ukoliko smo zadovoljni razlikom , rezultat je .
Ukoliko nismo, nastavimo dalje rekurzivno primenjujući adaptivno Simpsonovo pravilo na intervale i , a rezultat je njihova suma.