Furijeova optika

Furijeova optika obuhvata oblasti optike u kojima se primenjuje matematički postupak zasnovan na Furijeovom principu da se proizvoljna matematička funkcija u prostornom ili vremenskom domenu, može izraziti kao zbir sinusoidnih funkcija različitih učestalosti, raspona i faza.

Najznačajnija je primena ovog postupka u oblasti fizičke, ili talasne optike, gde se pomoću nje određuju svojstva svetlosnog polja po prolasku kroz otvor - tzv. difrakcija svetlosti. Nadovezujući se na temelje fizičke optike - Maksvelove jednačine i teoriju elektromagnetnog polja - Furijeova optika spada među najznačajnije delove teorije fizičke optike.

Kao osnovno sredstvo teorijske obrade difrakcije svetlosti, Furijeov postupak je neposredno vezan za izražavanje osnovnog dela optičke slike, funkcije širenja tačke, koja je srazmerna kvadratu Furijeove transformacije funkcije optičkog otvora. Takođe, osnovno merilo kakvoće optičke slike, funkcija optičkog prenosa, je Furijeova transformacija funkcije širenja tačke.

Naziv Furijeova transformacija se koristi kako za matematičku funkciju koja je izražava, tako i za samu fizičku pojavu izraženu energijom svetlosnog polja u Furijeovoj ravni, i opisanu ovom funkcijom. Ova difrakciona slika energije svetlosnog polja opisana je Furijeovom serijom u slučaju periodične funkcije. U slučaju aperiodične funkcije, tj. izdvojenog signala, raspored energije u Furijeovoj ravni opisan je Furijeovom transformacijom funkcije koja predstavlja ovaj signal, dakle neprekidnom funkcijom koja opisuje raspored učestalosti beskonačno mnogo sinusoidnih funkcija i njihovih raspona čiji zbir proizvodi funkciju datog oblika.

U oblasti digitalne slike, Furijeov postupak se koristi za obradu i poboljšanje digitalne slike korišćenjem njene Furijeove transformacije, tzv. Furijeove slike. Ova transformacija se obično dobija postupkom koji se zove odvojena Furijeova transformacija (engl. Discrete Fourier Transform, skraćeno DFT).

Istorija

Začetnik teorije Furijeovih transformacija, koje su po njemu dobile ima, je francuski fizičar Žon-Batist Žozef Forje. On je 1822. godine u svom delu "Analitička teorija toplote" (Théorie analytique de la chaleur) prvi izneo da matematička funkcija proizvoljnog oblika može da se proizvede zbirom sinusoidnih funkcija rastućih učestalosti i opadajućih raspona (izgovor imena Fourier na francuskom je između Foje i Forje, ali je na srpskom govornom području ustaljeno da se navodi kao Furije) .

Furijeove transformacije u optiku uvodi, tokom Drugog svetskog rata, francuski fizičar Dufie (Pierre-Michel Duffieux, 1891–1976). U širu upotrebu ovaj naučni postupak ulazi posle njegovog predstavljanja i obrade u kamenu temeljcu moderne fizičke optike, knjizi "Principi optike" Maksa Borna i Emila Volfa (Principles of optics, Born and Wolf), 1959. godine.

Primena

U optici, Furijeova transformacija ima poseban značaj, jer opisuje promenu elektromagnetnog polja usled difrakcije svetlosti posle prolaza kroz otvor. Određenije, raspored raspona talasnog polja proizveden međudejstvom talasa usled difrakcije je srazmeran Furijeovoj transformaciji rasporeda raspona polja u otvoru.

Drugim rečima, funkcija širenja raspona elektromagnetnog (svetlosnog) talasa, čiji kvadrat daje funkciju širenja tačke, tj. raspored energije u fizičkoj slici tačke, je srazmerna Furijeovoj transformaciji funkcije optičkog otvora, koja opisuje raspored raspona polja otvora (slika 6).

Pošto osobine fizičke slike tačke neposredno određuju nivo kakvoće optičke slike, Furijeova transformacija je ugrađena u same osnovame fizičke (talasne) optičke teorije i njene praktične primene.

Takođe, jedno od osnovnih sredstava za procenu kakvoće optičke slike, funkcija optičkog prenosa, je Furijeova transformacija funkcije širenja tačke za nekoherentnu svetlost, i obrnuta Furijeova transformacija funkcije širenja raspona za koherentnu svetlost.

Koherentna i nekoherentna svetlost

Slike desno pokazuju međusobnu povezanost ovih osnovnih pojmova fizičke optike, i ulogu Furijeovog postupka u njihovom dobijanju. U slučaju kako koherentne, tako i nekoherentne svetlosti, stvaranje fizičke optičke slike je izvedeno iz Furijeove transformacije funkcije (optičkog) otvora. Takođe, odnos Furijeovog para postoji između činilaca stvaranja fizičke optičke slike u prostornom domenu, sa jedne, i u domenu učestalosti sa druge strane.

Po teoriji konvolucije, Furijeova transformacija slike nastale konvolucijom dve funkcije jednaka je proizvodu Furijeovih transformacija ovih funkcija. To znači da je funkcija prenosa Furijeova transformacija činioca konvolucije, koji predstavlja funkcija širenja raspona u slučaju koherentne, i funkcija širenja tačke u slučaju nekoherentne svetlosti (u slučaju da predmet ima sinusoidan raspored talasnog raspona, odgovarajućia lepeza učestalosti sadrži samo tu osnovnu učestalost, i slika rasporeda raspona je ista kao raspored raspona u predmetu, kao što pokazuje slika 9; u slučaju kad je raspred raspona predmeta opisan funkcijom kvadratnog talasa, raspored raspona slike je opisan sinusoidnom funkcijom ako je prečnik objektiva suvise mali da obuhvati više učestalosti).

U oblasti digitalne slike, Furijeov postupak se koristi za analizu i poboljšanje svojstava slike kroz promenu svojstava njene Furijeove transformacije.

Furijeov postupak, opšti okvir

U izvornom obliku, Furijeova teorema kaže da proizvoljna funkcija ƒ(x) sa prostornim periodom λ može da se predstavi kao zbir sinusoida čije su talasne dužine (tj. prostorni periodi) date proizvodom sa brojem koji se, počevši od λ, smanjuje u skladu sa povećanjem deljenika za ceo broj (tj. ako je početni period λ, talasne dužine sinusoida su λ, λ/2, λ/3, itd.), dok se odgovarajući rasponi ovih sinusoida takođe smanjuju u istoj srazmeri. Oblici Furijeovog postupka koji se koriste danas su složeniji, ali opšti princip da se učestalost i raspon Furijeovih sinusoida smanjuju u istoj razmeri i dalje važi.

Moderna definicija je opštijeg karaktera, i kaže da se, u načelu, matematička funkcija ƒ(x) proizvoljnog oblika, data u prostornom ili vremenskom domenu - tj. sa promenljivom koja se menja u prostoru ili vremenu, u odnosu na x dato u prostornim ili vremenskim jedinicama - može proizvesti sabiranjem niza sinusoidnih funkcija opadajućih raspona i učestalosti. Ako se ovaj niz sinusoidnih funkcija predstavi kao posebna funkcija, u kojoj je učestalost v svakog od ovih sinusoida data na vodoravnoj skali, i sa odgovarajućim rasponima za svaku učestalost datim na uspravnoj skali, dobija se funkcija F(ν) u domenu učestalosti, koja opisuje raspored učestalosti ovih sinusoida i njihov raspon.

Drugim rečima, primenom Furijeovog postupka na funkciju ƒ(x) datu u vremenskom ili prostornom domenu, dobija se funkcija F(ν) u domenu učestalosti. Dva osnovna rezultata Furijeovog postupka, u pogledu oblika funkcije u domenu učestalosti - koja se može nazvati Furijeova funkcija - su Furijeov niz, u slučaju funkcija u kojima je razmak između periodičnih promena konačan, i Furijeova transformacija, u slučaju funkcija u kojima je razmak do sledeće promene beskonačan, tj. koje opisuju samo jednu promenu.

Funkcija domena učestalosti F(ν) i odgovarajuća funkcija u prostornom ili vremenskom domenu ƒ(x), čine Furijeov par, tj. F(ν)= $\mathbb {F}$ ƒ(x), gde je F(ν) funkcija učestalosti ν, $\mathbb {F}$ označava Furijeovu transformaciju, i ƒ(x) funkciju promenljive x u prostornom ili vremenskom domenu. Funkcija ƒ(x) je obrnuta Furijeova transformacija funkcije F(ν) , tj. ƒ(x)= $\mathbb {F}$ ^-1F(ν).

Furijeov niz

Furijeov niz je matematička funkcija F(ν) koja opisuje učestalosti i raspone niza sinusoidnih funkcija, čiji zbir proizvodi funkciju ƒ(x) datu u prostornom ili vremenskom domenu. Ili, obrnuto, koja opisuje rastavljanje funkcije date u prostornom ili vremenskom domenu na niz sinusoidnih funkcija čiji zbir proizvodi tu funkciju. Grafički prikaz rasporeda ovih učestalosti i njihovih raspona zove se lepeza, ili spektrum učestalosti (eng. frequency spectrum).

Furijeov niz može da se predstavi na dva načina: kao trigonometrijski Furijeov niz, koji sadrži trigonometrijske funkcije sinusa i/ili kosinusa, i kao eksponencijalni Furijeov niz, izražen kao kompleksna funkcija, koja koristi imaginarni broj i.

Furijeov trigonometrijski niz

U opštem obliku, Furijeov trigonometrijski niz prostorne ili vremenske funkcije ƒ(x) dat je sa:

 $f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos\,mkx+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sin\,mkx$         (1)

gde je A₀ brojna nepromenljiva koja određuje potreban položaj funkcije u odnosu na u-osu, m je ceo broj od nule naviše u slučaju A_m, i od 1 naviše u slučaju B_m, k=2π je periodni broj (eng. propagation number), dok su A₀ i B₀ brojne vrednosti, tzv. koeficijenti raspona, koji određuju raspon (amplitudu) sinusnih i kosinusnih funkcija, u tom redosledu. Ovi koeficijenti su dati sa:

 $A_{m}={\frac {2}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }f(x)\,cos\,mkx\,dx$        (1.1)
 $B_{m}={\frac {2}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }f(x)\,sin\,mkx\,dx$        (1.2)

Vrednost A₀ data je sa:

 $A_{0}={\frac {2}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }f(x)\,dx$      (1.3)

U slučaju parne funkcije, tj. kad je ƒ(x)=-ƒ(x) - drugim rečima, kad je funkcija simetrična oko uspravne (u) ose - svi B_m koeficijenti su jednaki nuli, i Furijeov niz sadrži samo kosinusne članove, koji su takođe parne funkcije. U slučaju neparne funkcije, tj. kad je ƒ(x)=-ƒ(-x), niz sadrži samo sinusne članove, koji su takođe neparne funkcije.

U slučaju kad funkcija nije ni parna ni neparna, niz sadrži i sinusne i kosinusne članove.

Slika desno pokazuje Furijeov trigonometrijski niz kvadratnog talasa, čiji je period (talasna dužina) 4, a raspon (amplituda) V=1. Prvi član u nizu (u zagradi) je tzv. osnovna učestalost (engl. fundamental frequency), iza koje se nižu prateće učestalosti (eng. harmonics). Pošto je funkcija ƒ(x) parna, niz se sastoji samo od sinusnih članova, i znak koeficijenta se, u ovom slučaju, naizmenično menja.

Osnovna učestalost ima isti period kao kvadratni talas, i nešto veći raspon, jednak 4/π. Svaka sledeća učestalost ima manju talasnu dužinu, višu učestalost i manji raspon. Sa svakim sledećim članom, oblik dat zbirom trigonometrijskih funkcija je bliži obliku kvadratnog talasa. Mada je broj članova u nizu teoretski neograničen, broj članova neophodnih da se proizvede određen oblik je u načelu ograničen, jer visoke učestalosti postaju zanemarljive.

Graf koji prikazuje učestalosti i raspone Furijeovog niza nosi ime lepeza učestalosti (eng. frequency spectrum). Svaka učestalost je prikazana kao delta funkcija. U slučaju kvadratnog talasa, ove delta funkcije su oivičene sink funkcijom (eng. sinc function).

Furijeov ekponencijalni niz

Na osnovu Ojlerove formule $e^{i\phi }=cos\phi +isin\phi$ i njenog komplesksnog para $e^{-i\phi }=cos\phi -isin\phi$ , veza između trigonometrijskih funkcija u trigonometrijskom Furijeovom nizu i dela kompleksnog broja koji opisuje fazu, φ, je data sa:

 $e^{i\phi }+e^{-i\phi }=2cos\phi$        (2)
 $e^{i\phi }-e^{-i\phi }=2isin\phi$       (2.1)

U osnovi, vrednost koja se dodaje zbiru u svakoj tački funkcije ƒ(x) od strane svakog člana niza je određena proizvodom vrednosti (raspona) trigonometrijske funkcije za tu tačku i koeficijenta raspona u slučaju trigonometrijskog niza, dok se u slučaju eksponencijalnog niza do vrednosti raspona funkcije, koja se množi sa koeficijentom raspona, dolazi kroz fazu kompleksnog broja u toj tački, određenu vrednošću $e^{i\phi }$ .

Zamenom trigonometrijskih funkcija u opštem obliku Furijeovog trigonometrijskog niza (jednačina 1) odgovarajućim oblikom kompleksne eksponencijalne funkcije, dobija se opšti oblik Furijeovog eksponencijalnog niza:

 $f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{1}^{\infty }A_{m}\,{\frac {e^{imkx}+e^{-imkx}}{2}}-\sum _{1}^{\infty }B_{m}\,{\frac {e^{imkx}-e^{-imkx}}{2}}$ 
 $={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {A_{m}-iB_{m}}{2}}e^{imkx}+\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {A_{m}+iB_{m}}{2}}e^{-imkx}$ 
 $=C_{0}+\sum _{1}^{\infty }\,C_{m}e^{imkx}+\sum _{1}^{\infty }\,C_{-m}e^{-imkx}$      (3)

gde je

 $C_{0}={\frac {A0}{2}}$       (3.1)
 $C_{m}={\frac {A_{m}-iB_{m}}{2}}$      (3.2),  и 
 $C_{-m}={\frac {A_{m}+iB_{m}}{2}}$      (3.3)

Ako se raspon učestalosti proširi na negativne vrednosti, izraz za Furijeov eksponencijalni niz se dodatno pojednostavljuje u:

 $f(x)=\sum _{m=-\infty }^{m=+\infty }C_{m}e^{imkx}$     (4)

gde je kompleksni koeficijent raspona:

 $C_{m}={\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }f(x)\,e^{-imkx}\,dx$       (4.1)

Furijeova transformacija

Furijeova serija opisuje sastavne učestalosti pravilnih (eng. well behaved) periodičnih funkcija, kako onih kod kojih deo koji predstavlja promenu čini ceo period (npr. sinusoid), tako i onih kod kojih je promena funkcije samo deo perioda. Što se promena funkcije - koja, u načelu, predstavlja signal - više smanjuje u odnosu na dužinu perioda, tj. što se prostorni ili vremenski razmak između dva signala više povećava u odnosu na dužinu signala, to se više smanjuje razmak između frekvencija koje tu funkciju opisuju (slika desno).

Ako period između dva signala postane beskonačno velik, dakle, ako funkcija predstavlja jedan odvojen signal, ili tzv. aperiodičnu funkciju, spektar učestalosti koji tu funkciju predstavlja pretvara se od linijskog - koji predstavlja raspon talasa odeljenih učestalosti - u neprekidni, a funkcija učestalosti koja ga predstavlja naziva se Furijeova transformacija.

Drugim rečima, Furijeov niz periodične funkcije postaje Furijeov integral aperiodične funkcije, dok funkcija koja opisuje ove sastavne sinusoide signala postaje Furijeova transformacija funkcije ƒ(x).

U trigonometrijskom obliku, opšti oblik transformacije može se napisati kao:

 $f(x)={\frac {1}{\pi }}\left[\int _{0}^{\infty }A(k)cos\,kx\,dk+\int _{0}^{\infty }B(k)sin\,kx\,dk\right]$      (5)

gde su koeficijenti raspona dati sa:

 $A(k)=\int _{0}^{\infty }f(x)cos\,kx\,dx$     (5.1)    и

 $B(k)=\int _{0}^{\infty }f(x)sin\,kx\,dx$     (5.2)

U kompleksnom obliku (slika 5), gde je sinusoid izražen pomoću kompleksne talasne funkcije v=Vexp[iφ] - s napomenom da exp[x] predstavlja isto što i e^x - koja u ovom osnovnom opštem obliku izražava promenu veličine talasa (v) kroz proizvod njegovog raspona (V) i stvarne vrednosti fazne promenljive exp[iφ], gde je φ=kx=2πw faza talasa, a w V-D greška talasnogg fronta u jedinici talasne dužine, jednačina (5) dobija oblik:

 $f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{+\infty }^{-\infty }F(k)e^{-ikx}\,dk$     (6)

gde je funkcija

 $F(k)={\frac {1}{2\pi }}\int _{+\infty }^{-\infty }f(x)e^{-ikx}\,dx$      (6.1)

Koristeći koeficijente raspona, F(k), se može izraziti kao F(k)=A(k)+iB(k)= $\mathbb {F}$ {f(x)}, tj. određena je promenom raspona sa učestalošću, gde je A(k) stvarna (kosinusna) vrednost kompleksne funkcije, B(k) njena imaginarna (sinusna) vrednost, i $\mathbb {F}$ je Furijeova transformacija funkcije ƒ(x).

Funkcije ƒ(x) i F(k) čine Furijeov par. Osobina Furijeovog para je da se jedan njegov član može dobiti iz drugog, tj. funkcija prostornog ili vremenskog domena ƒ(x) može se dobiti obrnutom transformacijom njenog Furijeovog para F(k) u domenu učestalosti, ili:

 $f(x)=\mathbb {F} ^{-1}F(k)$       (7)

Gornji izrazi su dati za najjednostavniji oblik funkcije u prostornom ili vremenskom domenu, sa jednom promenljivom i jednom nepromenljivom, tzv. jednodimenzionalne funkcije (jer se promenljiva menja u samo jednoj dimenziji). Za dvodimenzonalne i složenije funkcije opšti oblik transformacije ostaje isti, ali se izrazi, zbog dodatnih činilaca, usložnjavaju.

Slika desno prikazuje osnovne elemente kompleksne talasne funkcije u dve i tri dimenzije za jedan sinusidni talas (gore) i za zbir dva talasa (dole, dvodimenzionalno). Kako se faza oscilacije talasa φ menja, menjaju se i odgovarajuća sinusna (realna) i kosinusna (imaginarna, jer je pomnožena sa imaginarnim brojem i) vrednost. U tri dimenzije, fazni ugao φ je određen učestalošću i vrednošću prostorne ili vremenske promenljive, kao φ=kωt=2πωt, gde je ω učestalost (kao broj oscilacija od 0 do 2π) u jedinici vremena, a t vreme, ili kao φ=kνx sa prostornom učestalošću ν i prostornom promenljivom x. U slučaju zbiranja dva ili više talasa, zbir je drugačiji sinusoid ako je učestalost ista, ali poprima drugi, manje pravilan oblik periodične funkcije ako su učestalosti različite. Ovakvo kompleksno zbiranje talasa, kao i jedan talas, takođe može da se izrazi i predstavi u tri dimenzije.

Furijeova transformacija funkcije optičkog otvora

Funkcija optičkog otvora je jedna od osnovnih funkcija u optici. Ona opisuje polje u ravni optičkog otvora, tj. raspon (amplitudu) elektromagnetnog talasa - talasa svetlosti - u svakoj tački ove površine. U odsustvu aberacija i uz ravnomeran prenos raspona talasa kroz ravan otvora, oblik ove funkcije je vrlo jednostavan: za kružni optički otvor funkcija opisuje cilindar jedinične visine unutar optičkog otvora, i nulte visine izvan njega.

Kao takva, funkcija optičkog otvora je funkcija odvojenog signala, koja se u slučaju kružnog otvora u preseku može predstaviti kao kvadratni puls (slika desno). Kad je takav otvor ispunjen ravnim svetlosnim talasom, glavni pravac prostiranja svetlosti je u pravcu normale na talasni front, ali se talasi takođe šire u drugim pravcima, što u slučaju postojanja prepreke na putu svetlosti dovodi do promene talasnog polja svetlosti iza prepreke, pojave poznate kao difrakcija svetlosti.

U skladu sa Hajgensovim principom, svaka tačka u otvoru kroz koji prolazi svetlosni snop postaje talasni izvor koji šalje sferne talase u prostor ispred sebe. Usled međudejstva ovih talasa, u svakoj tački prostora koji ispunjava svetlost po prolasku kroz otvor stvara se tzv. zbirni raspon (eng. complex amplitude) polja, kao zbir talasnih doprinosa iz svake tačke optičkog otvora. U slučaju ravnog talasnog fronta u ravni otvora, zbirni raspon talasnog polja u proizvoljnoj tački u beskonačnosti po prolasku svetlosti kroz optički otvor je dat sa:

 $\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}\,exp[ik(ax+by)]dxdy$      (8)

gde su x i y koordinate tačke u otvoru, dok su ax i by vektorske veličine čiji zbir određuje pravac prostiranja. Integral govori da je zbirni raspon talasnog polja prema tački projektovanoj u beskonačnost srazmeran Furijeovoj transformaciji ujednačenog raspona polja u ravni optičkog otvora. Ovaj raspored raspona polja je obrtno simetričan.

U slučaju da je raspon talasnog polja u ravni otvora neravnomeran, opisan funkcijom F(x), zbirni raspon talasa projektovan prema tački u beskonačnosti je dat sa:

 $\int _{x=0}^{1}\int _{y=0}^{1}\,F(x)exp[ik(ax+by)]dxdy$     (9)

što znači da je, kao opšte pravilo, srazmeran Furijeovoj transformaciji raspona polja u otvoru, bez obzira na njegov oblik, tj. bez obzira na funkciju kojom je opisan.

Slika desno prikazuje nekoliko primera transformacije polja otvora u difrakciono polje u Fraunhoferovom domenu. U drugom i trećem primeru polje otvora se menja periodično, zbog čega je njegova Furijeova transformacija u obliku razdvojenih svetlih tačaka, čiji je raspored srazmeran Furijeovoj lepezi učestalosti polja otvora. U ostalim primerima polje otvora je ili ravnomerno, ili u obliku odvojenog signala, zbog čega je proisteklo difrakciono polje neprekidno, sa rasporedom raspona srazmernim obliku otvora, ili obliku signala (za dati oblik otvora).

Pošto se fazna razlika talasa koji se sreću iza otvora smanjuje sa povećanjem udaljenosti od otvora, padajući na nulu u beskonačnosti - praktično, u tzv. Fraunhoferovom domenu, ili difrakciji dalekog polja - fizički i matematički jedina razlika između difrakcije svetlosti u beskonačnosti, sa jedne, i difrakcije u žiži optičkog objektiva sa druge strane, je u razmeri polja, tj. difrakcione slike. Dakle, jednačine (8) i (9) važe, u načelu, i za difrakcionu sliku tačke proizvedenu od strane optičkog objektiva.

Drugim rečima, raspon talasnog polja u ravni slike optičkog objektiva, tj. raspored svetlosne energije u njoj, je srazmerna Furijeovoj transformaciji raspona polja u ravni optičkog otvora.

Pošto je raspon talasnog polja u optičkom otvoru određen funkcijom optičkog otvora - koja je u okviru jednačine (9) predstavljena sa F(x) - može se reći da je raspored energije difrakcione slike tačke u ravni slike optičkog objektiva srazmeran Furijeovoj transformaciji funkcije optičkog otvora.

Optički objektiv bez aberacija

U slučaju optičkog objektiva, polje otvora je matematički polje u izlaznom otvoru sklopa. Bez prisustva aberacija, talasni front u izlaznom otvoru je sfernog oblika, i zbirni raspon talasa u proizvoljnoj tački T u ravni blizu ravni Gausove žiže, tj. središta zakrivljenosti talasnog fronta, dat je sa:

 $V(T)=\int \int _{W}exp[if]=exp[ik(s-R)]\,dP$       (10)

gde je i imaginarni broj, φ fazni ugao, ili faza talasa iz tačke P talasnog fronta u tački T, k=2π/λ je periodni broj, koji predstavlja punu fazu u radijanima, s je razdaljina od tačke P do tačke T, R je poluprečnik zakrivljenosti talasnog fronta, i P je tačka,

u stvari, vrlo mala površina na talasnom frontu, tako da je zbir površina svih pojedinačnih "tačaka" daje površinu talasnog fronta (na slici desno, a je poluprečnik otvora, 0<ρ<1 je broj koji određuje udaljenost tačke talasnog fronta p=ρa u otvoru od optičke ose, dubina talasnog fronta za datu tačku jednaka je R-q, i t je udaljenost tačke T u polju slike od optičke ose; osnovni koordinatni sistem je je sistem ravni slike x,y,z, sa početnom, nultom tačkom u središtu zakrivljenosti talasnog fronta).

Pošto s-R predstavlja razliku u optičkom putu između dva talasa, ona određuje fazu u kojoj se oni sreću u tački P, tj. k(s-R)=φ predstavlja faznu razliku, ili fazni ugao pod kojim se dva talasa sreću. Pošto je raspon koju talas dodaje zbirnom rasponu srazmeran cosφ, zbir talasnih raspona u svakoj tačci je određen vrednošću s-R za svaki talas koji u nju stiže. Ako se ova razlika izrazi pomoću koordinata dve tačke u njihovim odnosnim ravnima, kao i u odnosu na z osu, pod pretpostavkom da su a, p i odstupanje od ravni Gausove žiže z mali u odnosu na R, dobija se:

 $s-R=-{\frac {pt}{R}}\,cos(\theta -\gamma )+z\left[1-0.5({\frac {p}{R}})^{2}\right]$     (11)

gde su θ i γ uglovi određeni tačkom u ravni optičkog otvora, i u ravni slike, u tom redosledu, kao što je prikazano na slici (8). Za z=0, tj. za ravan Gausove žiže, zbirni raspon talasa u proizvoljnoj tački slike je dat sa:

 $V(T)=A\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}exp\left[-{\frac {ik}{R}}pt\,cos(\theta -\gamma )\right]t,dt\,d\theta$      (11.1)

gde je A nepromenljiva srazmerna rasponu talasa u otvoru (minus znak je potreban da razlomak sa negativnim R učini pozitivnim). Funkcija opisana ovim integralom je Furijeova transformacija funkcije optičkog otvora, koja se ne pojavljuje u integralu jer ima jediničnu vrednost za svaku tačku talasnog fronta u izlaznom otvoru, tako da zbir svih tačaka - tj. malih površina na talasnom frontu koje one predstavljaju - daje kružnu površinu optičkog otvora sa ravnomernim (jediničnim) talasnim rasponom, dakle, opisuje cilindar jedinične visine i prečnika baze jednakog prečnku optičkog otvora.

Optički objektiv sa aberacijama

U prisustvu aberacija, talasni raspon u različitim tačkama optičkog otvora nije ravnomeran, nego je u većem ili manjem delu njih manji od (jedinične) raspona u delovima talasnog fronta koji ne odstupaju od najbolje poredbene sfere. Usled toga funkcija optičkog otvora više nema jediničnu vrednost za sve tačke talasnog fronta, i neophodno je uključiti je u integral koji opisuje raspored raspona polja u ravni slike:

 $V(T)=A\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}exp[ikW(r,t)]exp\left[-{\frac {ik}{R}}pt\,cos(t-g)\right]t,dt\,d\theta$

 $=A\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}exp\left[ikW(r,t)-{\frac {ik}{R}}pt\,cos(t-g)\right]t,dt\,d\theta$       (12)

gde je W(r,t) vrh-dno (V-D) greška talasnog fronta, a kW(r,t) je fazni ugao talasa iz date tačke površine talasnog fronta u izlaznom otvoru, koji je predstavljen realnom (tj. kosinusnom) vrednošću kompleksnog izraza exp[ikW(r,t)].

Pošto je jačina elektromagnetnog talasa jednaka kvadratu njegovog raspona, funkcija širenja tačke, koja izražava raspored energije u slici tačke, je jednaka kvadratu Furijeove transformacije funkcije optičkog otvora. Ovo važi kako za koherentnu, tako i za nekoherentnu svetlost, i za sve međunivoe.

Drugim rečima, funkcija širenja tačke je jednaka kvadratu funkcije širenja raspona, koja je opisana jednačinom (raspona) talasnog polja.

Funkcija optičkog prenosa kao Furijeova transformacija

Svojstvo funkcije optičkog prenosa kao Furijeove transformacije proizilazi neposredno iz teorije konvolucije, po kojoj je Furijeova transformacija konvolucije dve funkcije jednaka proizvodu odnosnih Furijeovih transformacija ove dve funkcije. To u načelu važi kako za koherentnu svetlost, tako i za nekoherentnu, ali u nešto drugačijem obliku.

Koherentna svetlost

U slučaju koherentne svetlosti, funkcija optičkog prenosa ne opisuje svojstva same slike paralelnih linija, nego svojstva polja u ravni slike, tj. zbirni raspon talasa u svakoj tačci. Drugim rečima, opisuje konvoluciju Gausovske slike predmeta - koja je, izuzev za uvećanje, ista kao i predmet, tj. koja, za koherentnu funkciju, ima u svakoj tački isti raspon talasa kao predmet - i funkcije širenja raspona (FŠR, latinično FSR), tj. pridruženje funkcije širenja raspona svakoj tački Gausovske slike (prava slika, kao raspored svetlosne energije, dobija se kvadriranjem ovih zbirnih raspona).

Funkcija optičkog prenosa se u slučaju koherentne svetlosti zove funkcija koherentnog prenosa (FKP, engl. Coherent Transfer Function, CTF). Za otvor bez aberacija i sa ravnomernim rasporedom talasnog raspona, izražena je sa:

 $FKP({\vec {\nu }}_{s})=\int _{0}^{\infty }FSR({\vec {r}}_{s})\,exp[2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {r}}_{s}]$      (13)

gde je ${\vec {\nu }}_{s}$ vektor prostorne učestalosti, određen razmakom v između dve susedne tačke sinusoida u istoj fazi, tj. širinom linija slike sinusoida, i obrtnim uglom φ (integracija se obavlja za sve orijentacije slike unutar 360 stepeni, što je od značaja jedino ako funkcija širenja raspona nije obrtno simetrična), a ${\vec {r}}_{s}$ je pozicioni vektor koji spaja optičku osu sa proizvoljnom tačkom u ravni slike, određen razmakom r između ose i tačke, i uglom otvora γ. Proizvod ovih vektora se takođe može izraziti kao proizvod apsolutnih vrednosti (dužina) vektora i njihovog međusobnog ugla; u ovom slučaju, ${\vec {\nu }}{\vec {r}}$ =vrcos(φ-γ). U tom slučaju, FKP je data sa:

 $FKP({\vec {\nu }}_{s})=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }FSR({\vec {r}}_{s})\,exp[2\pi i\nu _{s}r_{s}cos(\phi -\gamma )]r\,drd\phi$      (13.1)

Jednačina (13) pokazuje da je koherentna funkcija prenosa visine Furijeova transformacija funkcije širenja raspona.

U prisustvu aberacija, funkcija koherentnog prenosa je, u opštem obliku, data sa:

 $FKP({\vec {\nu }}_{j})=exp[i\Phi (\lambda R{\vec {\nu }}_{j}]$      (14)

gde je F fazna funkcija aberacije, koja izrazava faznu razliku u tački međudejstva talasa. Prema tome, prenos visine talasa u svakoj tački slike je umanjen saglasno smanjenju zbirnog raspona usled prisustva aberacija.

Abeov model

Slika desno prikazuje difrakciju koherentne svetlosti u slučaju sinusoidnog predmeta (tzv. Abeov model), koja je osnova koherentne funkcije optičkog prenosa. Predmet je niz paralelnih sjajnih i tamnih linija iste širine, sa sinusoidnom promenom jačine zračenja, u dvodimenzionalnom poprečnom preseku predstavljene periodičnim sinusoidnom talasom.

Pošto tamne linije stvaraju neravnomernost polja, sa praznim prostorom iza tamnih linija ispunjenim talasima iz svetlih linija koji se kreću ustranu - difraktovanom svetlošću - objektiv koji sakuplja ove talase - tzv. "Furijeovo sočivo" (engl. Fourier lens) stvara sliku Furijeove transformacije i sliku linija zavisno od toga na koji način ovakav predmet menja osobine svetlosnog polja. Drugim rečima, transformaciju stvarno vrši difrakcija svetlosti na sinusoidnom filteru, dok je sočivo samo prenosi iz beskonačnosti (približno, iz Fraunhoferovog domena) u ravan slike.

U slučaju koherentne svetlosti, ovakav raspored svetlih i tamnih površina uzrokuje difrakciju u svega dva pravca - tzv. difrakciona reda - pod istim uglom i na suprotnim stranama glavnog snopa zraka koji se kreće pod pravim uglom u odnosu na ravan linija. Ugao difrakcije, kao sinus, dat sa α=λ/l, gde je l širina linije a λ talasna dužina svetlosti, se povećava sa smanjenjem ugaonog razmaka između linija, usled čega na određenom razmaku linija difraktovana svetlost više ne dospeva u optički otvor. Za sve razmake - tj. prostorne učestalosti linija - pri kojima dva difraktovana reda dospevaju u otvor, raspored talasnih visina u slici je jednak onom u predmetu. Drugim rečima, izuzev za činilac uvećanja, raspored talasnih visina u tačkama slike sinusoida je srazmeran rasporedu visina u tačkama samog sinusoida. Slika, u ovom slučaju, savršeno odslikava predmet.

Kod učestalosti linija pri kojoj je ugao difraktovanih redova suviše širok da bi oni dospeli u otvor, visina talasa u ravni slike je ravnomerna preko cele njene površine, i slika se potpuno gubi. Učestalost pri kojoj se slika gubi, tzv. učestalost reza (eng. cutoff frequency), jednaka je 1/2λF, gde je λ talasna dužina svetlosti, a F žižni broj objektiva. U skladu s tim, koherentna funkcija prenosa visine ima jediničnu vrednost, tj. pun prenos, do učestalosti 1/2λF, i prenos jednak nuli za više učestalosti.

Kao što graf u okviru desno gore pokazuje, koherentna funkcija prenosa otvora bez aberacija, sa jediničnom visinom (prenosa) nad celom površinom ograničen kružnicom poluprečnika jednakog graničnoj učestalosti, je srazmerna relativnoj funkciji otvora, sa jediničnom visinom (raspona talasa) u površini otvora.

U gornjoj slici, rešetka se nalazi na ulaznom otvoru, i to je gde se difrakcija stvara - ne u objektivu. Rešetka je preuveličana, radi jasnoće; blizu prikazane granične učestalosti, dva susedna vrha bi bila mnogo bliže zajedno, a trouglovi oivičeni sa +1 /-1 difrakcionim redovima bi se približno poklapali. Stoga je geometrija utvrđivanja granične učestalosti ν_g data sa sinα = λ/ν_g=d/c, gde je d poluprečnik optičkog otvora i c je hipotenuza trougla. Iz toga, ν_g=cλ/d i, pošto se linearna vrednost ν_g menja u srazmeri sa udaljenošću rešetke, sa nepromenjenom ugaonom vrednošću, bilo koja vrednost c srazmerna udaljenosti filtera daće istu graničnu učestalost ν_g.

Teoretski tačna vrednost je c za udaljenost sinusoidnog filtera jednakoj žižnoj daljini objektiva (O=ƒ), jer u tom slučaju činilac defokusa u difrakcionom integralu pada na nulu (mada to ne utiče na prenos raspona polja). Slika sinusoida se stvara u beskonačnosti, dok se Furijeova ravan sa energetskim vidom Furijeove transformacije poklapa sa ravni Gausove žiže. Linearna širina linije granične učestalosti je ν_g=2λF, dok je njena ugaona vrednosti jednaka ν_g/ƒ tj. 2λ/D radijana, gde je D=2d, prečnik optičkog otvora.

Slika furijeove transformacije, koja se u ovom slučaju sastoji od tri svetle tačke - pri čemu Furijeovu transformaciju čine samo leva i desna tačka, dok je središnja tzv. DC term (eng.) koji predstavlja prosečnu visinu signala predstavljenog sinusoidom - je opisana funkcijom rasporeda učestalosti kosinusne funkcije (u okviru dole desno). Pošto kosinusna funkcija ima samo jednu frekvenciju, njen raspored visina učestalosti (tj Furijeova transformacija) je grafički predstavljen s jednom delta funkcijom (uspravna crta) na jediničnoj - tzv. osnovnoj - učestalosti na vodoravnoj skali, kao recipročna vrednost perioda kosinusne funkcije (koja je i frekvencija jedinične visine).

Proširenje spektra učestalosti u negativan domen nije neophodno za definisanje Furijeove transformacije, ali je uobičajeno, jer pojednostavljuje izraze i proračun.

Nekoherentna svetlost

U slučaju nekoherentne svetlosti, slika je konvolucija Gausovske slike i funkcije širenja tačke. a funkcija optičkog prenosa je Furijeova transformacija funkcije širenja tačke (FŠT, latinično FST). U najjednostavnijem obliku, nekoherentna funkcija optičkog prenosa (FOP, latinično FOP) se može izraziti kao:

 $FOP({\vec {\nu }}_{s})=\int _{0}^{1}FST({\vec {r}}_{s})\,exp[2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {r}}_{s}]$        (15)

gde su činioci označeni isto kao u jednačini (13). FŠT je, prema tome, obrnuta Furijeova transformacija FOP:

 $FST_{(}{\vec {r}}_{s})=\int _{0}^{1}FOP({\vec {\nu }}_{s})\,exp[-2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {\nu }}_{s}]$          (16)

Zamenjujući FST u jednačini (15) odgovarajućim izrazom, funkcija optičkog prenosa je:

 $FOP({\vec {\nu }}_{s})={\frac {1}{E(\lambda R)^{2}}}\int _{0}^{1}\,d{\vec {r}}_{s}\,exp[2\pi i{\vec {\nu }}_{s}\cdot {\vec {r}}_{s}]\left|\int _{0}^{1}P({\vec {r}}_{o})exp[-{\frac {2\pi i}{\lambda R}}{\vec {r}}_{o}\cdot {\vec {r}}_{s}]d{\vec {r}}_{o}\right|^{2}$       (17)

gde je razlomak pred integralom činilac koji svodi središnju visinu FOP na jediničnu vrednost u odsustvu aberacija (E je ukupna energija u ravni optičkog otvora).

U prisustvu aberacija, slika u nekoherentnoj svetlosti je konvolucija Gausovske slike sa aberacionom FŠT. To znači da je, po teoriji konvolucije, Furijeova transformacija slike jednaka proizvodu Furijeove transformacije Gausovske slike sinusoida i Furijeove transformacije aberacione FŠT, iz čega opet proizilazi da je aberaciona FOP Furijeova transformacija aberacione FŠT. FOP je takođe autokorelacija (neravnomernog) raspona aberacionog polja u ravni optičkog otvora.

Slika 9 prikazuje i difrakciju nekoherentne svetlosti posle sinusoidnog filtera visine talasa. Za razliku od koherentne svetlosti, nekoherentna se širi u svim pravcima, kroz mnoge difrakcione redove, ispunjavajući ceo optički otvor pri niskim učestalostima sinusoidne rešetke. Kako učestalost rešetke raste, difraktovana nekoherentna svetlost se širi pod sve većim uglom, i sve više gubi iz otvora, ali znatno sporije nego u slučaju koherentne svetlosti. Usled toga, granična učestalost za nekoherentnu svetlost je dva puta viša nego za koherentnu, ili 1/λF.

Međutim, za razliku od nekoherentnog prenosa, koji je jednak jedinici, tj. ima pun prenos kontrasta do granične učestalosti, u slučaju nekoherentne svetlosti prenos opada neprestano, od najniže do granične učestalosti. Graf u okvuru gore desno prikazuje kako prenos za nekoherentnu svetlost opada.

Koherentna i nekoherentna funkcija prenosa

Koherentna i nekoherentna funkcija prenosa nisu uporedive, jer predstavljaju različite oblike prenosa: dok je u slučaju prve u pitanju prenos raspona talasa, u drugom slučaju se radi o prenosu jačine, tj energije. Dok u slučaju predmeta sa sinusoidnim rasporedom jačine zračenja FKP tačno izražava i prenos jačine zračenja, tj. kontrast slike, za predmete sa drugačijim rasporedom jačine zračenja prenos raspona talasa nije neposredno vezan za osobine slike. Razlog je u tome što je međudejstvo koherentnih talasa drugačije od međudejstva nekoherentnih; glavna razlika je u tome da se koherentni talasi sabiraju na nivou raspona talasa, sa jačinom (energijom) jednakoj kvadratu zbirnog raspona, dok se nekoherentni talasi sabiraju neposredno, na nivou jačine pojedinih talasa, čiji zbir predstavlja konačnu jačinu.

Usled toga, (koherentna) FKP, za razliku od (nekoherentne) FOP, u načelu nije neposredno vezana za osobine optičke slike i, za razliku od FOP, ne može se koristiti kao pouzdan opšti pokazatelj kakvoće slike. Uprkos tome što FKP za sinusoidni raspored visine zračenja daje da je prenos visine - što u tom konkretnom slučaju važi i za samu sliku - potpun, tj. jednak rasporedu raspona talasa predmeta do granične učestalosti od 1/2λF, nekoherena svetlost, uopšteno govoreći, proizvodi bolju sliku u celokupnom rasponu učestalosti, od 0 do 1/λF.

Furijeova transformacija digitalne slike

Digitalna slika proizvedena upotrebom CCD detektora je mozaički proizvod električnih signala sa mnoštva vrlo malih prijemnika kvadratne površina - tzv. piksela (eng. pixel, od picture element, ili "element slike"). Visina ovih signala može da se predstavi u obliku funkcije čija je vrednost određena jačinom signala sa svakog pojedinog piksela.

Primenom Furijeovog postupka ova funkcija slike se može opisati zbirom sinusoida različitih učestalosti, visina i orijentacija. Funkcija koja opisuje ove sinusoide je Furijeova transformacija slike. Ona se takođe može predstaviti kao slika (slika Furijeove transformacije, koja je dvodimenzionalna karta Furijeove transformacije slike, matematičke funkcije), gde je svaki sinusoid predstavljen u koordinatnom sistemu u kom je skala učestalosti od najnižih oko središnje tačke (koja nije učestalost, nego tzv. DC term), do najviših na ivicama slike, i svaka tačka predstavlja sinusoid određene učestalosti, visine i orijentacije, gde je visina sinusoida srazmerna sjaju tačke. Drugim rečima, slika Furijeove transformacije je karta spektruma, ili lepeze učestalosti digitalne slike.

Slika desno prikazuje primere Furijeove transformacije slike (gore), teksta (sredina) i fotografije (dole), na osnovu podele površine slike na piksele, saglasno algoritmu programa. U Furijeovoj transformaciji ikone Svetog Save, središnja vodoravna linija je sjajnija od uspravne jer su uspravne linije u ikoni naglašenije. Dve dijagonalne sjajne linije su učestalosti potrebne da se ocrtaju linije ramena. Furijeova transformacija teksta ("Crveni makovi" Mihovila Pavleka Miškine) upotrebljava sinusoide pod mnogim uglovima da bi se ocrtale linije slova.

Pošto su razlike u visinama sinusoida koji čine sliku često vrlo velike, Furijeova transformacija slike se po pravilu predstavlja u logaritamskom obliku (sredina).

Na fotografiji dole je pokazano dejstvo promene Furijeove transformacije slike na sliku koja se na osnovu nje dobija: isključenjem viših učestalosti (dole levo) gubi se oštrina linija, ali površine zadržavaju svoj oblik. Sa druge strane, zaklanjanje niskih učestalosti (desno) ima za posledicu gubitak površina, dok se pokazuju samo linije stvorene višim učestalostima, koje te površine jasno ocrtavaju.

Transformacije digitalne slike u domen učestalosti, dobijena primenom Furijeovog postupka, predstavlja potpun opis te slike dat u vidu učestalosti koji je sačinjavaju. Iz ove transformacije se obrnutim procesom može proizvesti ista slika iz koje je dobijena, ili se promenom svojstava transformacije menjaju i svojstva digitalne slike. Promena svojstava digitalne slike pomoću odvojene Furijeove transformacije se široko koristi u najrazličitijim oblastima, od digitalne fotografije i medija do inženjeringa i medicine.

Odvojena Furijeova transformacija

Funkcija koja opisuje mozaičku CCD sliku, predstavljena visinom signala u središnjoj tački svakog piksela je isprekidana (eng. descrete function) - sa ovim tačkama prostorno razdvojenim usled dimenzija piksela. Furijeova transformacija izračunata na osnovu ovakvog skupa podataka je odvojena Furijeova transformacija (eng. discrete Fourier transform). Njen osnovni matematički oblik, za kvadratnu površinu određenu sa vrednostima za NxN piksela, je:

 $F(u,v)=\sum _{x=0}^{N}\sum _{y=0}^{N}f(x,y)\,exp\left[-i2\pi {\frac {ux+vy}{N}}\right]$ 
 $=\sum _{x=0}^{N}\sum _{y=0}^{N}f(x,y)\,exp\left[-i2\pi {\frac {ux}{N}}\right]exp\left[-i2\pi {\frac {vy}{N}}\right]$     (18)

gde su u i v koordinate u koordinatnom sistemu učestalosti, N je broj piksela duž jedne strane CCD čipa (u slučaju kvadratnog čipa), i ƒ(x,y) je funkcija digitalne slike koje opisuje visinu signala na svakom pikselu, sa koordinatama piksela određenim sa x i y. Brojno, sve četiri koordinatne promenljive pripadaju skupu celih brojeva između 0 i N-1, s tom razlikom što su koordinate piksela date u prostornim, a koordinate furijeove transformacije u jedinicama učestalosti.

Pošto su F(u,v) i ƒ(x,y) furijeov par, funkcija CCD uzorka (slike) je data sa:

 $f(x,y)={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{u=0}^{N}\sum _{v=0}^{N}F(u,v)\,exp\left[i2\pi {\frac {ux+vy}{N}}\right]$ 
 $={\frac {1}{N^{2}}}\sum _{u=0}^{N}\sum _{v=0}^{N}F(u,v)\,exp\left[i2\pi {\frac {ux}{N}}\right]\,exp\left[i2\pi {\frac {vy}{N}}\right]$      (19)

Za obe funkcije, integral pune Furijeove transformacije je zamenjen zbirnom funkcijom za sve tačke (tj. piksele) slike, a neprekidne promenljive koordinata učestalosti su zamenjene isprekidanim koordinatama skupa celih brojeva od 0 do N-1. Integral govori da je signal svake tačke (tj. piksela) CCD slike proizvod zbira raspona (signala), tj. Furijeove transformacije za svaku tačku u koordinatnom sistemu učestalosti (u,v) i osnovne funkcije exp[...] koja određuje fazu svake frekvencije, tj. konačnu visinu signala u svakoj tački.

Kao što slika desno pokazuje, broj tačaka u spektrumu, ili lepezi učestalosti za koje odvojena Furijeova transformacija daje zbir učestalosti, je jednak broju piksela, tj. N². Zbir dva sinusoida koji proizvode raspored visina koji je srazmeran onim na CCD slici je u odnosu na početnu ili računsku nulu, koja postaje prosečna, ili nulta visina, u odnosu na koju su pozitivna i negativna odstupanja jedniaka, tj. u odnosu na koju je zbir pozitivnih i negativnih odstupanja jednak nuli (svojstvo ortogonalnosti).

Brza Furijeova transformacija (FFT)

Računski obim odvojene Furijeove transformacije je u osnovnom obliku srazmeran N². Zbog vrlo male veličine prosečnog piksela, ovo zahteva vrlo veliki broj operacija već i za male čipove, što za posledicu ima nepraktično dugo potrebno vreme, čak i sa modernim kompjuterima.

Na primer, za piksel prosečne veličine od 10 mikrona, na svaki milimetar CCD čipa dolazi 10,000 piksela, što čak i za mali 10x10mm čip znači milion piksela. Za svaki od piksela potrebno je obaviti veliki broj računskih operacija da bi se sabrale visine sinusoida svih učestalosti koje su potrebne da se proizvede Furijeova transformacija CCD slike.

Ovaj problem je rešen primenom posebnog algoritma, poznatog kao brza Furijeova transformacija (engl. Fast Fourier Transform, FFT). Broj operacija sa FFT je srazmeran Nlog₂N, tj. obim je smanjen srazmerno N/log₂N u odnosu na osnovni oblik proračuna. Za 1 milion piksela (N=1.000.000), to donosi skraćenje vremena proračuna za oko 10.000 puta.

Predstavljanje

Kao što jednačina (18) pokazuje, Furijeova transformacija slike je jedan od dva dela potpunog izraza koji je opisuju - ona predstavlja raspone frekvencija sinusoida sadržanih u slici, tj. koji su potrebni da se ona proizvede. Drugi deo izraza određuje učestalost i fazu ovih sinusoida, tj. njihov međusobni položaj, što određuje visinu doprinosa svake od učestalosti zbirnoj visini siggnala u svakoj pojedinačnoj tački slike, tj. pikselu (slika 11, sredina).

Ove funkcije visine i faze mogu da se predstave u obliku karte u koordinatnom sistemu učestalosti. Obično se koristi samo karta funkcije raspona, tj. Furijeova transformacija, jer karta funkcije faze - koja pokazuje fazu svake frekvencije u slici kao nijansu sive između crne (Δ=-π, slika 11) i bele (Δ=π) - ne govori ništa smisleno o osobinama slike. Na slici 11, četiri karte desno od slike predstavljaju kartu raspona učestalosti, tj. Furijeovu transformaciju (gore, u pojačanom, logaritamskom obliku), i faze učestalosti (dole).

U kompjuterskom postupku proračuna Furijeove transformacije slike, karta se zasniva na koordinatnom sistemu u,v u kom se učestalost menja od najniže na uglovima do najviše u središtu. To važi kako za kartu raspona (tj. Furijeovu transformaciju), tako i za kartu faza učestalosti. Dve karte na levoj strani su u ovom obliku. U konačnom obliku (desno), obe karte se po pravilu daju u obrnutom sistemu koordinata, sa najnižom učestalošću u središtu, i najvišim u uglovima karte (slika 12). Postupak obrtanja koordinata zove se FFT pomak (engl. FTT shift).

Slika desno prikazuje računski i konačni oblik odvojene Furijeove transforrmacije digitalne slike. Dole levo je negativ konačnog oblika transformacije u raspone učestalosti, na kom se vidi kako se učestalost i orijentacija sinusoida koji čine sliku menjaju u zavisnosti od koordinata na karti učestalosti. Dole desno je šema po kojoj se računski oblik menja u uobičajeni oblik predstavljanja transformacije, bilo u rasponu ili fazi učestalosti.

Slika gore desno prestavlja kartu raspona učestalosti - tj. Furijeovu transformaciju - slike levo, u obliku u kom se obično predstavlja: sa najnižim učestalostima u središtu, i najvišim prema ivicama. Sama središnja tačka je raspon bez učestalosti, koja predstavlja prosečan raspon signala cele slike (engl. DC term). Dve svetle linije u vidu krsta u središtu slike su ili uzrok postojanja jasno ocrtanih vodoravnih (uspravna svetla liniija) i uspravnih (vodoravna svetla linija) u slici, i/ili nepodudaranja gornje i donje (vodoravna sjajna linija) i leve i desne (uspravna sjajna linija). Ovo poslednje je posledica prirode Furijeovoh postupka, koji podrazumeva periodičnost, tj. pri pretvaranju slike u njenu kartu učestalosti ponavlja sliku u nizu, nastavljajući ih kao pločice na podu.

Dijagonalna linija učestalosti je svetlija od gore desno ka dole levo, jer su ove učestalosti potrebne da se opišu jake približno dijagonalne linije na slici u orijentaciji normalnoj na orijentaciju na karti učestalosti, tj. od gore desno ka dole levo.

Vidi još

Izvori

Optical imaging and aberrations 2, V.N. Mahajan 1998
Optics, E. Hecht 1975
Aberration theory made simple, V.N. Mahajan 1991
Astronomical optics, D. Schroeder 1987
Useful optics, W.T. Welford, 1991
Introduction to image processing and analysis, Russ and Russ, 2007
Advanced computing in electron microscopy, E.J. Kirkland 2010

Spoljašnje veze