Периодични низ

У математици, периодични низ (понекад се назива циклус) је низ код кога се исти чланови понављају изнова и изнова:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Број p поновљених чланова се назива период (период)

Дефиниција

Периодични низ је низ a₁, a₂, a₃, ... који задовољава

a_n+p = a_n

за све вредности n. Ако посматрамо низове као функције чији домен је скуп природних бројева, онда је периодични низ једноставно посебна врста периодичне функције.

Примери

Редослед цифара у децималном проширењу од 1/7 је периодичан са периодом од шест:

1:7=0,142857142857142857...

Генерално, редослед цифара у децималном проширењу било ког рационалног броја је на крају периодичан (види доле).

Редослед степена -1 је периодичан са периодом два:

−1, +1, −1, +1, −1, +1, ...

Генерално, редослед степена било ког корена јединства је периодичан. Исто важи и за степен било ког елемента коначног реда у групи. 

Периодична тачка за функцију ƒ: X → X је тачка p чија је орбита

$p,\,f(p),\,f(f(p)),\,f^{3}(p),\,f^{4}(p),\,\ldots$

периодични низ. Периодичне тачке су важне за теорију динамичког система. Свака функција из коначног скупа у себи има периодичну тачку; детекција циклуса је алгоритамски проблем проналажења такве тачке.

Периодични 0, 1 низови

Сваки периодични низ може бити конструисан мудрим сабирањем елемената, одузимањем, множењем и дељењем периодичног низа који се састоји од нула и јединица. Периодична нула и јединица низа могу бити представљене као збир тригонометријских функција:

$\sum _{k=1}^{k=1}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...$

$\sum _{k=1}^{k=2}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...$

$\sum _{k=1}^{k=3}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...$

$...$

$\sum _{k=1}^{k=N}\cos(-2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1{\text{ sequence with period }}N$

Генералисања

Низ је коначно периодичан ако може бити направљен периодичним одбацивањем неког коначног броја чланова од почетка. На пример, низ цифара децималног развоја од 1/56 је коначно периодичан:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

Низ је асимптотски периодичан ако се његови чланови приближавају овом периодичном низу. То значи да је низ x₁, x₂, x₃, ... асимптотски периодичан ако постоји периодични низ a₁, a₂, a₃, ... за који важи

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.$

На пример, низ

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

је асимптотски периодичан, како се његови чланови приближавају периодичном низу  0, 1, 0, 1, 0, 1, ....