1 + 2 + 4 + 8 + ⋯

У математици, 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … је бесконачан низ чији су чланови узастопна степен двојке. Као геометријске низове, карактерише их први члан, 1, и њихов заједнички однос, 2. Као низ реалних бројева дивергира у бесконачност, тако да у уобичајеном смислу да нема суму. У много ширем смислу, низ је повезан са другим вредностима осим са ∞, односно −1.

Збир

Парцијалне суме 1 + 2 + 4 + 8 + … су 1, 3, 7, 15, …; како ово дивергира до бесконачности, дивергира и низ. Због тога сваки потпуно регуларан начин сумирања даје збир бесконачности, укључујући Цесаро збир и Абел збир. С друге стране, постоји најмање један генерално корињћен метод који сумира 1 + 2 + 4 + 8 + ... до коначне вредности -1. Повезана степен низова

$f(x)=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+\cdots +2^{n}{}x^{n}+\cdots ={\frac {1}{1-2x}}$

има радијус конвергенције око 0 од само ¹/₂, тако да не конвергира на x = 1. Ипак, тако дефинисана функција f  има јединствени аналитички наставак на комплексној равни са тачке x = ¹/₂ избрисано, а дато је истим правилом  f(x) = 1/(1 − 2x). Како је f(1) = −1, за оригиналан низ 1 + 2 + 4 + 8 + … се каже да га је могуће сабрати (E) до −1, и −1 је (E) збир низа. (Израз је настао захваљујући Г. Х. Хардију у односу на приступ дивергентним редовима Леонарда Ојлера).

Готово идентичан приступ (један од стране Ојлера самог) је да се размотри степен низа чији коефицијенти су сви 1, односно 

$1+y+y^{2}+y^{3}+\cdots ={\frac {1}{1-y}}$

и повезани са y = 2. Наравно, ова два низа су повезана заменом y = 2x.

Чињеница даt (E) збир даје коначну вредност 1 + 2 + 4 + 8 + … показује да општи метод није потпуно регуларан. Са друге стране, поседује неке друге пожељне квалитете за метод сумирања, укључујући стабилност и линеарност. Ова два аксиома заправо приморавају збир да буде −1, јер они чине следећу манипулацију валидном:

${\begin{array}{rcl}s&=&\displaystyle 1+2+4+8+\cdots \\[1em]&=&\displaystyle 1+2(1+2+4+8+\cdots )\\[1em]&=&\displaystyle 1+2s\end{array}}$

У корисном смислу, s = ∞ је корен једначине s = 1 + 2s. (На пример, ∞ је једна од две фиксне тачке Мебијусове трансформације z → 1 + 2z на Римановој сфери). Ако је за неки метод сумирања познато да враћа обичан број за s, односно не ∞, тада је то лако утврдити. У овом случају s се могже одузети од обе стране једначине, дајући 0 = 1 + s, тако да је s= −1.

Наведена манипулацја може бити позвана да произведе −1 ван контекста довољно моћног сумирања процедуре. За најпознатије и једноставне концепте збира, укључујући фундаментално конвергентни, апсурдно је да низ позитивних чланова има негативну вредност. Сличан феномен се јавља код дивергентних геометријских редова 1 − 1 + 1 − 1 + · · · , где се појављује ред целих бројева који имају не-цео збир ¹⁄₂. Ови примери илуструју потенцијалну опасност у примени сличних аргумената на редове имплициране таквим понављањем децимала као што је 0.111… и пре свега 0.999…. Аргументи су на крају оправдани за ове конвергентне редове, укључујући да је 0.111… = ¹⁄₉0.111… = ¹⁄₉ и 0.999… = 1, али су у основи докази захтевају пажљиво размишљање о тумачењу бесконачних сума.

Такође је могуће видети ове низове као конвергентне у великом броју система различитих од стварног броја, наиме, 2-адик бројеви. Како низ 2-адик бројева конвергира до исте суме, -1, као што је изведена пре помоћу аналитичког наставка.

Види још

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + · · ·
• 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
• Комплемент двојке, конвенција података за представљање негативних бројева у којима је  -1 представљен као да је  $1+2+4+\ldots +2^{n-1}$.

Литература

• Gardiner, A. (2002) [1982]. Understanding infinity: the mathematics of infinite processes (Dover изд.). Dover. ISBN 0-486-42538-X. 
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCC QA295 .H29 1967. 
• Barbeau, E. J. & Leah, P. J. (мај 1976). „Euler's 1760 paper on divergent series”. Historia Mathematica. 3 (2): 141—160. doi:10.1016/0315-0860(76)90030-6. 
• Ferraro, Giovanni (2002). „Convergence and Formal Manipulation of Series from the Origins of Calculus to About 1730”. Annals of Science. 59: 179—199. doi:10.1080/00033790010028179. 
• Kline, Morris (новембар 1983). „Euler and Infinite Series”. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371. 
• Sandifer, Ed (јун 2006). „Divergent series” (PDF). How Euler Did It. MAA Online. Архивирано из оригинала (PDF) 20. 03. 2013. г. Приступљено 16. 01. 2016.  Архивирано на веб-сајту Wayback Machine (20. март 2013)
• Sierpińska, Anna (новембар 1987). „Humanities students and epistemological obstacles related to limits”. Educational Studies in Mathematics. 18 (4): 371—396. JSTOR 3482354. doi:10.1007/BF00240986.