Niz

U matematici, niz je uređena lista objekata (ili događaja). Kao i skup, niz sadrži članove (ili elemente), a njihov broj (koji može da bude beskonačan) se naziva dužinom niza. Za razliku od skupa, redosled članova niza je bitan, a isti element može da se pojavljuje više puta na različitim pozicijama u nizu.

Na primer, (D, V, H) je niz slova koji se razlikuje od niza (H, V, D), jer se gleda uređenje. Nizovi mogu da budu konačni, kao u ovom primeru, ili beskonačni, kao što je niz svih parnih pozitivnih celih brojeva (2, 4, 6, ...).

Beskonačan niz realnih brojeva (plavo). Ovaj niz nije ni rastući ni opadajući, ni konvergentan, niti Košijev. Međutim on jeste ograničen.

Primeri i notacija

Niz se može posmatrati kao lista elemenata sa određenim redosledom. Nizovi su korisni u brojnim matematičkim disciplinama za proučavanje funkcija, prostora i drugih matematičkih struktura koristeći svojstva konvergencije nizova. Konkretno, nizovi su osnova za redove, koji su važni u diferencijalnim jednačinama i analizi. Nizovi su takođe interesantni sami po sebi i mogu se proučavati kao obrasci ili zagonetke, kao što je proučavanje prostih brojeva.

Niz može da se označi kao (a₁, a₂, ...). Radi kraćeg zapisa, koristi se i notacija (a_n).

Formalnija definicija konačnog niza čiji su članovi u skupu S je funkcija iz {1, 2, ..., n} u S za neko n ≥ 0. Beskonačan niz članova skupa S je funkcija iz {1, 2, ...} (skupa prirodnih brojeva bez 0) u S.

Indeksi nizova mogu da počinju i od 0, pa je tada prvi element niza a₀.

niz fiksne dužine, n se takođe naziva i n-torkom. Konačni nizovi uključuju i prazan niz (), koji nema elemenata.

Funkcija iz skupa svih celih brojeva u neki skup se ponekad naziva i bi-beskonačnim nizom, jer može da se posmatra kao niz indeksiran negativnim brojevima na koji je nalepljen niz indeksiran pozitivnim brojevima.

Tipovi i svojstva nizova

Podniz datog niza je niz formiran od datog niza brisanjem nekih elemenata bez promene relativnih položaja preostalih elemenata.

Ako su članovi niza podskup nekog uređenog skupa, onda je monotono rastući niz onaj niz kod koga je svaki član veći ili jednak od prethodnog; ako je svaki član strogo veći od prethodnog, onda se radi o strogo monotono rastućem nizu. Monotono opadajući niz je definisan na sličan način. Svaki niz koji ispunjava svojstvo monotonosti se naziva monotonim. Ovo je specijalni slučaj opštijeg pojma monotone funkcije.

Izrazi neopadajući i nerastući se koriste kako bi se izbegla zabuna sa strogo neopadajućim i strogo nerastućim nizovima.

Ako su članovi niza celi brojevi, onda je niz celobrojni niz. Ako su članovi niza polinomi, onda se radi o polinomijalnom nizu.

Ako S poseduje topologiju, onda je moguće da se razmatra konvergencija beskonačnih nizova u S. Takva razmatranja uključuju koncept limesa niza.

Nizovi u analizi

U analizi, kada se govori o nizovima, obično se podrazumevaju nizovi oblika

$(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )\,$ ili $(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\,$

što znači, beskonačni nizovi, indeksirani prirodnim brojevima.

Može da bude zgodno da indeks niza ne počinje od 1 ili 0. Na primer, niz definisan kao x_n = 1/log(n) bi bio definisan samo za n ≥ 2. Kada se govori o takvim beskonačnim nizovima, obično je dovoljno (i ne menja mnogo njihovo proučavanje) pretpostaviti da su članovi niza definisani za sve dovoljno velike, to jest, veće od nekog datog N.)

Većina elementarnih tipova nizova su numeričkog tipa, to jest nizovi realnih ili kompleksnih brojeva.

Ovaj tip može da se uopšti u nizove elemenata nekog vektorskog prostora. U analizi, proučavani vektorski prostori su često prostori funkcija. Još opštije, mogu da se proučavaju nizovi čiji elementi su iz nekog topološkog prostora.

Redovi

Glavni članak: Red (matematika)

Zbir članova niza je red. Preciznije, ako je (x₁, x₂, x₃, ...) niz, mogu da se posmatraju parcijalne sume (S₁, S₂, S₃, ...), gde je

$S_{n}=x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}.$

Formalno, ovaj par nizova čini red sa elementima x₁, x₂, x₃, ..., što se označava kao

$\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}.$

ako je niz parcijalnih suma konvergentan, takođe se koristi notacija beskonačne sume za njegov limes. Za detaljnije objašnjenje videti članak red.

Beskonačni nizovi u teorijskom računarstvu

Beskonačni nizovi cifara ili karaktera iz konačne azbuke su od posebnog značaja u teorijskom računarstvu. Često se nazivaju jednostavno nizovima (umesto konačnih niski). Beskonačni binarni nizovi, na primer, su beskonačni nizovi bitova (karaktera iz azbuke {0, 1}). Skup C = {0, 1}^∞ svih beskonačnih binarnih nizova se ponekad naziva Kantorovim prostorom.

Beksonačan binarni niz može da se predstavi formalnim jezikom (skupom niski) postavljanjem n tog bita niza na 1 ako i samo ako je n ta niska deo jezika. Stoga, proučavanje klasa kompleksnosti, koje su skupovi jezika, može da se posmatra kao proučavanje skupova beskonačnih nizova.

Beskonačan niz iz azbuke {0, 1, ..., b−1} takođe može da es predstavi ako realan broj u osnovi -b. Ova ekvivalencija se često koristi da se tehnike realne analize uvedu u proučavanje klasa kompleksnosti.

Nizovi kao vektori

Nizovi nad poljem takođe mogu da se posmatraju kao vektori u vektorskom prostoru. Specifično, skup nizova iz F (gde je F polje) je prostor funkcija (u stvari prostor proizvoda) funkcija sa vrednostima iz F, nad skupom prirodnih brojeva.

Specifično, izraz prostor niza se obično odnosi na linerani potprostor skupa svih mogućih beskonačnih nizova sa elemenetima iz $\mathbb {C}$.

Dvostrano-beskonačni nizovi

Obično izraz beskonačan niz podrazumeva niz koji je beskonačan u jednom smeru - ima prvi element ali nema poslednji element (jednostrano-beskonačni niz). Dvostrano-beskonačni niz je beskonačan u oba smera - nema ni prvi ni poslednji element. Jednostrano-beskonačni nizovi su funkcije iz skupa prirodnih brojeva (N) u neki skup, dok su dvostrano-beskonačni nizovi funkcije iz skupa celih brojeva (Z) u neki skup.

Nizovi i automati

Automati ili mašine konačnih stanja se obično posmatraju kao uređeni grafovi čije su grane obeležene nekom specifičnom azbukom Σ. Većina uobičajenih tipova automata prelaze iz jednog u drugo stanje čitanjem ulaznih slova iz azbuke Σ, i prateći grane sa odgovarajućim natpisima; uređeni ulaz za takav automat formira niz koji se naziva reč (ili ulazna reč). Niz stanja kroz koja automat prolazi dok procesira reč se naziva prolazom. Nedeterministički automat može da ima neoznačene izlazne grane ili da ima više izlaznih grana sa istom oznakom, što daje više od jednog stanja za neka ulazna slova. Ovo se uglavnom posmatra kao pravljenje više mogućih prolaza za datu reč, od kojih svaki predstavlja niz pojedinačnih stanja, a ne kao pravljenje jednog prolaza koji ima niz skupa stanja; međutim izraz prolaz se nekad koristi i u ovom drugom značenju.

Vidi još

• Prostor nizova
• Permutacija
• Rekurentna relacija
• Podniz

Tipovi nizova

• Košijev niz
• Farejev niz
• Fibonačijev niz
• Aritmetička progresija
• Geometrijska progresija

Povezani koncepti

• Lista (računarstvo)
• Rekurzija (računarstvo)
• Torka
• Niz (struktura podataka)

Operacije na nizovima

• Limes niza
• Košijev proizvod

Literatura

• Batchelder, Paul M. (1967). An introduction to linear difference equations. Dover Publications. 
• Miller, Kenneth S. (1968). Linear difference equations. W. A. Benjamin. 
• Fillmore, Jay P.; Marx, Morris L. (1968). „Linear recursive sequences”. SIAM Rev. 10 (3). str. 324—353. JSTOR 2027658. 
• Brousseau, Alfred (1971). Linear Recursion and Fibonacci Sequences. Fibonacci Association. 
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 1990. ISBN 0-262-03293-7. Chapter 4: Recurrences, pp. 62–90.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2 izd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. 
• Enders, Walter (2010). Applied Econometric Times Series (3 izd.). Arhivirano iz originala 2014-11-10. g. 
• Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie (2005). Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. ISBN 0-387-23234-6. 
• Jacques, Ian (2006). Mathematics for Economics and Business (Fifth izd.). Prentice Hall. str. 551–568. ISBN 0-273-70195-9. 
• Minh, Tang; Van To, Tan (2006). „Using generating functions to solve linear inhomogeneous recurrence equations” (PDF). Proc. Int. Conf. Simulation, Modelling and Optimization, SMO'06. str. 399—404. Arhivirano iz originala (PDF) 2016-03-04. g. Pristupljeno 2014-08-07. 
• Polyanin, Andrei D. „Difference and Functional Equations: Exact Solutions”.  at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
• Polyanin, Andrei D. „Difference and Functional Equations: Methods”.  at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
• Wang, Xiang-Sheng; Wong, Roderick (2012). „Asymptotics of orthogonal polynomials via recurrence relations”. Anal. Appl. 10 (2): 215—235. S2CID 28828175. arXiv:1101.4371 . doi:10.1142/S0219530512500108. 
• Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
• Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192—197. Bibcode:1950PNAS...36..192D. PMC 1063182 . PMID 16588972. doi:10.1073/pnas.36.3.192 . 
• Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate izd.), Boston: Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1 
• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Pietsch, Albrecht (1972). Nuclear locally convex spaces. Berlin,New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541. 
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 
• Ryan, Raymond (2002). Introduction to tensor products of Banach spaces. London New York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184. 
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158. 

Spoljašnje veze

• Onlajn enciklopedija celobrojnih nizova
• Žurnal celobrojnih nizova (besplatan)
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Sequence”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences